Question

, уж в геометрии не разбираюсь от слова совсем)) Задание 1.

Определите, существует ли правильный многоугольник, угол которого равен 135°.

Задание 2.

Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с внутренним углом многоугольника, составляет 0,2 угла многоугольника.

Задание 3.

Задан правильный многоугольник, в котором n = 4. Найдите:

а) площадь многоугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см;

б) радиус вписанной окружности, если радиус описанной окружности равен 8 см;

в) периметр многоугольника, если радиус описанной окружности равен 1,1.jpg.png см.

Answer 1

Задание 1

ответ: Да, существует. Это правильный 8-ми угольник (см. картинку №1).

Объяснение:

Известно что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника S равна произведению 180° на количество сторон n без двух:

S = 180°(n-2)

Т.к. сумма внутренних углов выпуклого многоугольника = внутреннему углу, помноженному на количество сторон ⇒

S = 135° × n

Отсюда выходит что:

135n = 180(n-2)

Находим n:

135n = 180n - 360

180n - 135n = 360

45n = 360

n = 360 ÷ 45

n = 8 (количество сторон правильного многоугольника)

Задание 2

ответ: Количество сторон правильного многоугольника = 12 (см. картинку №2).

Объяснение:

Пускай внутренний угол правильного многоугольника = x°

⇒ смежный с ним угол = 0,2x°

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол = 180°.

⇒ x + 0,2x = 180

1,2x = 180

x = 180 ÷ 1,2

x = 150° (внутренний угол выпуклого многоугольника)

Известно что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника S равна произведению 180° на количество сторон n без двух:

S = 180°(n-2)

Т.к. сумма внутренних углов выпуклого многоугольника = внутреннему углу, помноженному на количество сторон ⇒

S = 150° × n

Отсюда выходит что:

150n = 180(n-2)

Находим n:

150n = 180n - 360

180n - 150n = 360

30n = 360

n = 360 ÷ 30

n = 12 (количество сторон правильного многоугольника)

Задание 3

а) ответ: Площадь многоугольника = 64 см².

Объяснение:

Правильный многоугольник, в котором n = 4 это КВАДРАТ.

Диаметр окружности d = 2r, где r - радиус

Известно что сторона квадрата a равна диаметру d вписанной в него окружности

⇒ d = a = 2r = 2×4 = 8 cm.

Площадь квадрата = a² = 8² = 64 cm²

б) ответ: Радиус вписанной окружности $= 4\sqrt{2}$ см.

Объяснение:

Известно что сторона квадрата $a = 2r$, где r - радиус вписанной окружности.

Так же известно что сторона квадрата $a = R\sqrt{2}$, где R - радиус описанной окружности ⇒

$2r = R\sqrt{2}\\\\ 2r = 8\sqrt{2}\\\\ r = \frac{8\sqrt{2}}{2}\\\\ r = 4\sqrt{2} cm$ (радиус вписанной окружности)

в) ответ: Периметр многоугольника = 16 см.

Объяснение:

Известно что сторона квадрата $a = R\sqrt{2}$, где R - радиус описанной окружности

⇒ $a = R\sqrt{2} = 2\sqrt{2}*\sqrt{2} = 2(\sqrt{2})^{2} = 2*2 = 4cm$

Периметр любого многоугольника P = n·a, где a - сторона многоугольника, n - количество его сторон.

⇒ P = 4 × 4 = 16 cm