Question

Доведіть, що для будь-яких n точок А1, А2, ..., A, існуе єдина точка М така, що (вектори) МА 1+ МА2 +...+ MAn=0 ( точку М зивають центроїдом системи точок А1, А2, ...,An).

Answer 1

Существование: пусть даны точки с координатами $(x_{j},y_{j}),\; j\in \overline{1,n}$, а координата точки $M$ есть $(x,y)$. Тогда получаем систему линейных уравнений: $\begin{cases}\sum\limits_{j=1}^{n}[x_{j}-x]=0\\ \sum\limits_{j=1}^{n}[y_{j}-y]=0\end{cases}$, откуда $(x,y) = \left(\dfrac{\sum\limits_{j=1}^{n}x_{j}}{n},\;\dfrac{\sum\limits_{j=1}^{n}y_{j}}{n}\right)$.

Единственность: пусть нашлась вторая такая точка $M'$. Тогда $\vec{M'A_{1}}+\vec{M'A_{2}}+\ldots +\vec{M'A_{n}} = 0 \Leftrightarrow \vec{A_{1}M'}+\vec{A_{2}M'}+\ldots +\vec{A_{n}M'} = 0$. Сумма последнего равенства с исходным в условии дает $\vec{MM'}+\vec{MM'}+\ldots+\vec{MM'} = n\cdot \vec{MM'} = 0 \Leftrightarrow M=M'$.