Геометрия Задание 1. Дан параллелепипед АВСD А1, В1, С1: D1. Компланарны ли вектора: АВ, АD, АА, - Задание 2. Дан параллелепипед АВСD А1, В1.С1, D1;. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) АВ + АD+ АА1,, б)DА + DС + DD1. Задание 3. В тетраэдре АВСО медиана АА1; грани АВС делится точкой К так, что АК: КА1; = 3:7,
Разложите вектор DК по векторам DА, DВ, DС.
Заданне 4. Отрезки АВ и СD не лежат в одной плоскости, точки М и N— середины этих отрезков. Докажите, что МN Задание 5. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника АВСD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство ОМ = Задание 6. На трех некомпланарных векторах p = АВ, q= АD, r = АА1, построен параллелепипед АВСD А1,В1,С1,D1. Разложите по векторам р,q,r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда
- Задание 7. Векторы a и b, b и c коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы 3a + 2c и b.
Пусть стороны АВ и ВС треугольника соответственно равны 1 и √15 а его медиана ВМ равна 2.На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Из равенства треугольников ABM и CDM (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольников ABC и BCD. В треугольнике BCD известно, что ВС=√15; ВD=2ВМ = 2*2=4 ; DС=АВ=1 по формуле герона р=(√15+4+1)/2=(√15+5)/2 s=√(p(p-BC)(p-BD)(p-DC))=√((√15+5)/2)((√15+5)/2-√15)((√15+5)/2-4)((√15+5)/2-1)= √((√15+5)/2)((-√15+5)/2)((√15-3)/2)((√15+3)/2)=√(((√15+5)(5-√15)(√15-3)(√15+3))/16) =√(((25-15)(15-9))/16)=√60/√16=2√15/4 2*3.87/4=1.94
Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
ВС=√15; ВD=2ВМ = 2*2=4 ; DС=АВ=1
по формуле герона
р=(√15+4+1)/2=(√15+5)/2
s=√(p(p-BC)(p-BD)(p-DC))=√((√15+5)/2)((√15+5)/2-√15)((√15+5)/2-4)((√15+5)/2-1)=
√((√15+5)/2)((-√15+5)/2)((√15-3)/2)((√15+3)/2)=√(((√15+5)(5-√15)(√15-3)(√15+3))/16)
=√(((25-15)(15-9))/16)=√60/√16=2√15/4
2*3.87/4=1.94