Question

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 120 см и 68 см соответственно. Точка A находится на расстоянии 25 см от каждой прямой, содержащей сторону треугольника. Проекцией точки A на плоскость треугольника является точка, принадлежащая этому треугольнику. Найдите расстояние от точки A до плоскости треугольника.

Answer 1

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 120 см и 68 см соответственно. Точка A находится на расстоянии 25 см от каждой прямой, содержащей сторону треугольника. Проекцией точки A на плоскость треугольника является точка, принадлежащая этому треугольнику. Найдите расстояние от точки A до плоскости треугольника.

20 см

Объяснение:

Опустим перпендикуляр АО к плоскости треугольника.

АО - искомое расстояние от точки А до плоскости треугольника.

АК, АР и АН - перпендикуляры к сторонам треугольника ВЕС.

По условию АК = АР = АН = 25 см.

ОК⊥ВЕ, ОР⊥ЕС, ОН⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.

ОК = ОР = ОН как проекции равных наклонных, проведенных из одной точки.

То есть, точка О равноудалена от сторон треугольника, значит О - центр окружности, вписанной в треугольник ВЕС, ОК, ОР, ОН - радиусы вписанной окружности.

ΔВЕС равнобедренный, центр вписанной окружности лежит на высоте, проведенной к основанию ( ЕН ), которая является медианой, ВН = 0,5 ВС = 60 см.

Из прямоугольного треугольника ВЕН по теореме Пифагора:

$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{68^2-60^2}=$

$=\sqrt{(68-60)(68+60)}=\sqrt{8\cdot 128}=\sqrt{2\cdot 4\cdot 2\cdot 64}=$

$=2\cdot 2\cdot 8=32$  см

Площадь треугольника ВЕС:

$S=\dfrac{1}{2}BC\cdot EH$

$S=\dfrac{1}{2}\cdot 120\cdot 32=1920$   см²

Найдем радиус вписанной в треугольник окружности по формуле:

$r=\dfrac{S}{p}$

где p - полупериметр.

$p=\dfrac{68+68+120}{2}=128$  см

$r=\dfrac{1920}{128}=15$ см

ΔАОК:   ∠АОК = 90°, ОК = r = 15 см, АК = 25 см,

по теореме Пифагора

AO² = AK² - OK² = 25² - 15² = 625 - 225 = 400

AO = √400 = 20 см