Question

Прямоугольник с периметром P и острым углом между диагоналями а(альфа) вращается вокруг большей стороны.Найдите объем цилиндра, полученного при вращении.

Answer 1

Прямоугольник с периметром P и острым углом между диагоналями а(альфа) вращается вокруг большей стороны. Найдите объем цилиндра, полученного при вращении.

V(цилиндра)= π r²*h , где  r=АМ, h=СМ

Угол ∠ВОС= α, тогда ∠ОВС=(180°-α)/2=90°-α/2 ,тк ΔВОС-равнобедренный. .

Полупериметр равен 0,5Р. Сумма АМ+СМ=0,5Р. , CM=0,5Р-AМ.

ΔВСМ -прямоугольный ,  $\displaystyle tg[tex]\displaystyle tg(90-\frac{\alpha }{2} )=\frac{0,5P-AM}{AM} ,$  правую часть разделим почленно,

$\displaystyle tg(90-\frac{\alpha }{2} )=\frac{0,5P}{AM} -1,\\\\\displaystyle tg(90-\frac{\alpha }{2} )+1=\frac{0,5P}{AM} ,\\AM=\frac{0,5P}{ tg(90-\frac{\alpha }{2} )+1}$, тк tg(90°-α/2)=- сtg(α/2),

$\displaystyle AM=\frac{0,5P}{1-ctg(\frac{\alpha }{2} )}=0,5P:(1-\frac{1}{tg\frac{\alpha }{2} } )=0,5P:\frac{tg\frac{x}{\alpha } -1}{tg\frac{x}{\alpha } } =\\=\frac{0,5P(tg\frac{x}{\alpha } -1)}{tg\frac{x}{\alpha } }$

Тогда

$\displaystyle CM=0,5P- AM=0,5P-\frac{0,5P}{1-ctg(\frac{\alpha }{2} )}=\\\\=0,5P*(1-\frac{1}{ctg(\frac{\alpha }{2} )} )=0,5P*(1-tg(\frac{\alpha }{2} )} )$

$\displaystyle V=\pi * (\frac{0,5P(tg\frac{x}{\alpha } -1)}{tg\frac{x}{\alpha } })^{2} *0,5P*(1-tg(\frac{\alpha }{2} )} )$

$\displaystyle V=\pi *\frac{1}{8} *P^{3*} \frac{(1-tg\frac{\alpha }{2 } )^{3} }{tg\frac{\alpha }{2 } }$