1. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
а₆ = Р₆ / 6 = 48 / 6 = 8 м
R = a₆ = 8 м
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата:
d = a₄√2
d / 2 = R
a₄√2 = 8
a₄ = 8 / √2 = 8√2 / 2 = 4√2 м
2. Площадь сектора:
S = πR² · α / 360°
S = π · 12² · 120° / 360° = π · 144 / 3 = 48π см²
3. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
а₆ = R
Правильный шестиугольник диагоналями, проведенными через центр, делится на шесть равных равносторонних треугольников. Площадь одного треугольника:
S = S₆ / 6 = 72√3 / 6 = 12√3 см²
a₆²√3 / 4 = 12√3
a₆² = 48
a₆ = √48 = 4√3 см
R = 4√3 см
Длина окружности:
C = 2πR = 2 · π · 4√3 = 8√3π см
Найдём угол BAC:
BAC = 180° - (30° + 105°) = 180° - 135° = 45°
По теореме синусов найдём сторону AC:
(BC)/(sinBAC) = (AC)/(sinABC);
(3√2)/(√2/2) = (AC)/(1/2);
AC = (3√2 * 1/2)/(√2/2) = 3√2 * 1/2 * 2/√2 = (3√2)/(√2) = 3 см
По той же теореме синусов найдём сторону AB:
(AC)/(sinABC) = (AB)/(sinBCA);
sin105° = sin(50+50+5) = 0.766 + 0.766 + 0.0871 = 1.6191
(3)/(1/2) = (AB)/(1.6191);
AB = (3 * 1.6191)/(1/2) = 3 * 1.6191 * 2 = 9.7146 ≈ 10 см
ответ: угол BAC = 45°; AC = 3 см; AB = 10 см