Вот вам решение :((( В дополнение к заданным в задаче обозначениям я ввожу еще такие. BF пересекает А в точке К. АМ = p; BN = t; NC = q; CK = x; KA = y; CF = e; FN = u; MF = f; Ну, и АВ = с, ВС = а; Из теорем Чевы и Ван-Обеля сразу следует m*q*y/(p*t*x) = 1; x/y + q/t = e/f; y/x + p/m = n/u; Из первого и второго равенств следует q/t = (x/y)*(p/m); и (x/y)*(1 + p/m) = e/f; аналогично из первого и третьего равенств p/m = (y/x)*(q/t); и (y/x)*(1 + q/t) = n/u; Если перемножить левые и правый части, получается (1 + p/m)*(1 + q/t) = (e*n)/(f*u); или (c/m)*(a/t) = (e*n)/(f*u); Пока что нигде не использовалось условие равенства углов. Это условие означает, что точки A M N C лежат на одной окружности. Отсюда сразу следует, что n*u = e*f; (произведения отрезков хорд) и m*c = t*a; (произведения отрезков секущих из точки В). Подставляя e = n*u/f; и с = a*t/m; я получаю a^2/m^2 = n^2/f^2; или a/m = n/f; f = n*a/m; Между прочим, угол между f и n (угол MFA) НЕ равен углу ABC. То есть получить это равенство из подобия не получится :)
Извини что так долго отходил! BD медиана к стороне АС . По формуле медиана в любом треугольнике равна BD=√(2a^2+2b^2-c^2)/2 так как у нас медиана равна , пусть АВ=у √3y/4 = √2y^2+2(x^2-3y^2/16)-4x^2 x^2-3y^2/16 вышло от прямоугольного треугольника ВДС
В дополнение к заданным в задаче обозначениям я ввожу еще такие.
BF пересекает А в точке К. АМ = p; BN = t; NC = q; CK = x; KA = y; CF = e; FN = u; MF = f;
Ну, и АВ = с, ВС = а;
Из теорем Чевы и Ван-Обеля сразу следует
m*q*y/(p*t*x) = 1;
x/y + q/t = e/f;
y/x + p/m = n/u;
Из первого и второго равенств следует q/t = (x/y)*(p/m); и
(x/y)*(1 + p/m) = e/f;
аналогично из первого и третьего равенств p/m = (y/x)*(q/t); и
(y/x)*(1 + q/t) = n/u;
Если перемножить левые и правый части, получается
(1 + p/m)*(1 + q/t) = (e*n)/(f*u); или (c/m)*(a/t) = (e*n)/(f*u);
Пока что нигде не использовалось условие равенства углов. Это условие означает, что точки A M N C лежат на одной окружности. Отсюда сразу следует, что n*u = e*f; (произведения отрезков хорд) и m*c = t*a; (произведения отрезков секущих из точки В). Подставляя e = n*u/f; и с = a*t/m; я получаю
a^2/m^2 = n^2/f^2; или a/m = n/f;
f = n*a/m;
Между прочим, угол между f и n (угол MFA) НЕ равен углу ABC. То есть получить это равенство из подобия не получится :)