Трапеция АВСД, АД=36, АВ=СД=25, АС=29
проводим высоты ВН=СК на АД, треугольники АВН=треугольнику КСД , по гипотенузе АВ=СД и острому углу уголА=уголД, АН=КД = а, АК=36-а
треугольник КСД , СК в квадрате = СД в квадрате - КД в квадрате =625 - а в квадрате
треугольник АСК прямоугольный, СК в квадрате = АС в квадрате - АК в квадрате =
=841 - (36-а) в квадрате
625 - а в квадрате = 841 -1296 +72а - а в квадрате, 72а=1080, а=15 =КД=АН
СК=ВН=корень (СД в квадрате-КД в квадрате) = корень(625-225)=20
НК=ВС=АД-АН-КД=36-15-15=6
площадь=(ВС+АД)/2 х СК = (6+36) /2 х 20=420
Поскольку плоскость проходит через точки В,С и М, значит она проходит через среднюю линию MN грани АСD, параллельную ребру ВС. Продлим прямые ВМ и СN до их пересечения в точке Р. Треугольник ВРС равнобедренный, следовательно вершина S пирамиды SBPC спроецируется на высоту PF основания ВРС, являющуюся и медианой основания, в точке Н.
Расположение точки Н на прямой PF зависит от угла SQF между плоскостями ВРС и АSВ. В нашем случае этот угол тупой, поэтому точка Н лежит вне грани АSD пирамиды SABCD.
Так как пирамида правильная, в основании - квадрат.
Диагональ квадрата равна в нашем случае 6√2.
Ее половина ОС=3√2.
Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14.
Необходимо найти перпендикуляр SH к плоскости BCMN.
Вариант решения - через подобие прямоугольных треугольников SHE и FOE по равным острым углам при вершине Е. Углы SHE и EOF - прямые.
Из этого подобия имеем соотношение: SH/FO=SE/EF и SH=FO*SE/EF.
Высота пирамиды SO=3√14 (по Пифагору из треугольника SOC).
Тогда QG=0,5*SO (так как MN - средняя линия треугольника ASD, и значит QG - средняя линия треугольника KSO).
Из подобия треугольников QGF и EOF имеем ЕО=FO*QG/FG.
FO=3, QG=1,5√14, FG=4,5. Тогда ЕО=3*1,5√14/4,5=√14 и, следовательно, SE=SO-EO=2√14.
EF находим из треугольника EOF по Пифагору:
EF=√(OF²+OE²)=√(9+14)=√23. Тогда SH=3*2√14/√23.
ответ: SH=6√14/√23.