Диагональ осевого сечения цилиндра равна 16 корней из 2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра 45° градусов. Найти площадь полной поверхности цилиндра.
Формула для площади полной поверхности цилиндра состоит из двух частей: площади боковой поверхности и площади двух оснований.
1. Первым шагом найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:
Sб = 2πrh,
где Sб - площадь боковой поверхности, π - число π (приблизительно равное 3.14159), r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
В данном случае нам дана длина диагонали осевого сечения цилиндра, которая равна 16√2 дм. Диагональ осевого сечения цилиндра является гипотенузой прямоугольного треугольника, а полуось основания цилиндра является одним из его катетов. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора.
r^2 + h^2 = (16√2)^2,
r^2 + h^2 = 512.
2. Теперь рассмотрим треугольник на плоскости основания цилиндра. По условию, угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра составляет 45 градусов. Это означает, что данный треугольник является прямоугольным, а радиус основания и полуось цилиндра будут его катетами. Таким образом, мы можем применить теорему синусов:
sin(45°) = r / (16√2),
1/√2 = r / (16√2),
r = 8.
3. Подставим найденное значение радиуса в уравнение r^2 + h^2 = 512 и найдем высоту h:
8^2 + h^2 = 512,
64 + h^2 = 512,
h^2 = 448,
h ≈ 21.166.
Поэтому высота цилиндра примерно равна 21.166 дм.
4. Теперь подставим значение радиуса и высоты в формулу площади боковой поверхности и найдем ее:
Sб = 2πrh,
Sб = 2 * 3.14159 * 8 * 21.166,
Sб ≈ 1060.4 (см^2).
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра примерно равна 1060.4 квадратных сантиметров.
5. Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нужно добавить площади двух оснований цилиндра. Площадь одного основания можно найти по формуле:
Sосн = πr^2.
Sосн = 3.14159 * 8^2,
Sосн ≈ 201.06 (см^2).
Так как у цилиндра два основания, то площадь двух оснований равна:
2 * 201.06 ≈ 402.12 (см^2).
6. Итак, получаем площадь полной поверхности цилиндра:
Sp = Sб + 2Sосн,
Sp ≈ 1060.4 + 402.12,
Sp ≈ 1462.52 (см^2).
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра примерно равна 1462.52 квадратных сантиметра.
1. Первым шагом найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:
Sб = 2πrh,
где Sб - площадь боковой поверхности, π - число π (приблизительно равное 3.14159), r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
В данном случае нам дана длина диагонали осевого сечения цилиндра, которая равна 16√2 дм. Диагональ осевого сечения цилиндра является гипотенузой прямоугольного треугольника, а полуось основания цилиндра является одним из его катетов. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора.
r^2 + h^2 = (16√2)^2,
r^2 + h^2 = 512.
2. Теперь рассмотрим треугольник на плоскости основания цилиндра. По условию, угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра составляет 45 градусов. Это означает, что данный треугольник является прямоугольным, а радиус основания и полуось цилиндра будут его катетами. Таким образом, мы можем применить теорему синусов:
sin(45°) = r / (16√2),
1/√2 = r / (16√2),
r = 8.
3. Подставим найденное значение радиуса в уравнение r^2 + h^2 = 512 и найдем высоту h:
8^2 + h^2 = 512,
64 + h^2 = 512,
h^2 = 448,
h ≈ 21.166.
Поэтому высота цилиндра примерно равна 21.166 дм.
4. Теперь подставим значение радиуса и высоты в формулу площади боковой поверхности и найдем ее:
Sб = 2πrh,
Sб = 2 * 3.14159 * 8 * 21.166,
Sб ≈ 1060.4 (см^2).
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра примерно равна 1060.4 квадратных сантиметров.
5. Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нужно добавить площади двух оснований цилиндра. Площадь одного основания можно найти по формуле:
Sосн = πr^2.
Sосн = 3.14159 * 8^2,
Sосн ≈ 201.06 (см^2).
Так как у цилиндра два основания, то площадь двух оснований равна:
2 * 201.06 ≈ 402.12 (см^2).
6. Итак, получаем площадь полной поверхности цилиндра:
Sp = Sб + 2Sосн,
Sp ≈ 1060.4 + 402.12,
Sp ≈ 1462.52 (см^2).
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра примерно равна 1462.52 квадратных сантиметра.