Question

НУЖНО СЕГОДНЯ В піраміді MPQS (точка M – вершина піраміди) ребро MQ є висотою, PQ = 15,
QS = 13, PS = 4. Знайдіть об’єм піраміди, якщо відстань від точки M до ребра
PS дорівнює 37.

Answer 1

280

Объяснение:

пирамида - MPQS

QS = 13

РQ = 15

PS = 4

PS  = 37

MQ - высота пирамиды

из треугольника РQS

РQ² = (15)² = 225

PS² +QS² = (4)² + (13)² = 185

РQ²>PS² +QS² =>  

треугольник QSP тупоугольный

=>

высота, проведенная к стороне PS - лежит вне треугольника

(дополнительное построение)

QH⊥PS

QН - проекция MH на плоскость основания

=>

MH⊥PS - по теореме трех перпендикулярах

найдем половину периметра треугольника РQS

P = (PQ+PS+QS)/2 = (15+4+13)/2 = 32/2 = 16 ед.

Найдем площадь ΔАВС

(использована формула Герона)

$S = \sqrt{p(p-QS)(p-PQ)(p-PS)} = \sqrt{16^{.}(16-13) ^{.}(16-15)^{.}(16-4) } = \sqrt{16^{.}3^{.}1^{.}12} =4 ^{.}3^{.}2 = 24$

кв.ед.

найдем высоту QH

с формулы для нахождения площади треугольника

S = 1/2 · PS · QH

QH = (2 · S)/PS = 48/4 = 12 ед.

Из прямоугольного треугольника MQH

по теореме Пифагора

c² = a² + b²

a² = c² - b²

MQ² = MH² - QH²

MQ = √(MH² - QH²)

MQ = √(37² - 12²) = √((37 - 12)·(37 + 12)) = √(25 · 49) = 5 · 7 = 35 ед.

Находим объем пирамиды

V = 1/3 · S · MQ = 1/3 · 24 · 35 = 280 ³ ед.