ВАС = 60 гр. АО - биссектриса, О - центр впис. окр-ти. В и С - точки касания.
Пусть точка К прин окр-ти и: КМ перп АС, КМ = 1, KN перп АВ, KN = 4
В прямоугольной трапеции СОКМ: ОС = ОК = r, КМ = 1
Проведем высоту КР на основание ОС. ОР = ОС - КМ = r - 1
Тогда из пр. тр-ка КОР:
КР = кор(ОК^2 - OP^2) = кор(r^2 - (r-1)^2) = кор(2r-1).
КР = СМ = кор(2r-1).
АМ = АС + СМ = rкор3 + кор(2r-1) (т.к. АС = r/tg30 из тр. АОС)
Теперь проведем АК.
Из тр. АКМ : AK = 1/sina, где а - угол КАМ
Из тр. NAK : АК = 4/sin(60-a)
Приравняв, получим:
sin(60-a) / sina = 4, или раскрыв синус разности и поделив почленно:
(кор3)ctga - 1 = 8 ctga = 3кор3
Но из тр-ка АКМ:
ctga = AM/MK = rкор3 + кор(2r-1)
Приравняем и получим:
(3-r)кор3 = кор(2r-1). 1<r<4
3r^2 - 20r + 28 = 0 D = 64 r = 2 (другой корень >4)
ответ: 2
Пусть b - основание тр-ка, а - боковая сторона, h - высота к основанию.
Тогда по условию: 2R = b+h. (1)
Теперь воспользуемся двумя формулами для площади тр-ка:
S = abc/(4R) и S = bh/2
Получим уравнение:
h = a^2 /(2R) (2)
И наконец теорема Пифагора:
a^2 = b^2 /4 + h^2 (3)
(1), (2), (3) - система трех уравнений с тремя неизвестными: a, b, h.
Разрешим ее относительно h:
((2R-h)^2)/4 + h^2 = 2Rh
5h^2 - 12Rh + 4R^2 = 0 D = 64R^2
h1 = (12R + 8R)/10 = 2R - не подходит по смыслу.
h2 = (12R - 8R)/10 = 0,4R
ответ: 0,4R.
