Question

В циліндр вписана пряма призма в основі якої лежить прямокутній трикутник з кутом α і протилежним цьому куту катетом а. Визначити об'єм циліндра, якщо діагональ більшої грані призми утворює з площиною основи кут β

Answer 1

Пусть цилиндр имеет радиус R и высоту h, а призма имеет основание, состоящее из прямоугольного треугольника с катетом a и углом α, а также высоту b и диагональ основания d. Тогда:

Радиус цилиндра равен стороне вписанного прямоугольного треугольника, на которую опущена высота из прямого угла:

R = a/2

Площадь основания призмы равна площади прямоугольного треугольника, умноженной на высоту:

S = ab/2 * b = ab^2/2

Для нахождения диагонали d можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из половины диагонали основания и стороны треугольника:

d^2 = (a/2)^2 + b^2

d = sqrt(a^2 + 4b^2)/2

Угол β между плоскостью основания призмы и её диагональю выражается как:

sin(β) = b/d

Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту:

V = πR^2h

Теперь можно выразить R, S, d, sin(β) и V через заданные величины и вычислить объём цилиндра:

R = a/2

S = ab^2/2

d = sqrt(a^2 + 4b^2)/2

sin(β) = b/d

V = πR^2h = πa^2/4 * (d/sin(β) - a/2)/2

ответ: объем цилиндра равен πa^2/32 * (sqrt(a^2 + 4b^2) - a sin(β)) * h / b.