Question

Дано: MС перпендикулярно (ABC), угол AMB = 90°, угол MAC 30°, угол MBC= 45°, MD перпендикулярно AB. Найти: угол между прямой MD и пл. АВС.

Answer 1

Вот решение, фото прикрепил.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойства перпендикуляров, углов и треугольников.

Итак, у нас имеется треугольник ABC, в котором MC является высотой, опущенной из вершины M на гипотенузу AB. Также дано, что угол AMB равен 90°, угол MAC равен 30° и угол MBC равен 45°. Нам нужно найти угол между прямой MD и плоскостью ABC.

Для начала, давайте рассмотрим связь между углами треугольника ABC. Учитывая, что сумма всех углов треугольника равна 180°, мы можем записать следующее равенство:

∠C + ∠B + ∠A = 180°

Заметим, что ∠C является прямым углом, поэтому мы можем записать:

90° + ∠B + ∠A = 180°

Теперь выразим ∠B через ∠A:

∠B = 180° - 90° - ∠A
∠B = 90° - ∠A

Таким образом, мы получили выражение для ∠B через ∠A.

Теперь давайте рассмотрим треугольник MDС. Так как MD перпендикулярно AB, то ∠AMD является прямым углом. Кроме того, у нас есть угол MAC, который равен 30°. Используя эти данные, мы можем рассмотреть треугольник AMС.

Так как ∠B равен 90° - ∠A, то ∠С равно:

∠C = 180° - 90° - (∠B + ∠A)
∠C = 180° - 90° - (90° - ∠A + ∠A)
∠C = 180° - 90° - 90° + 2∠A
∠C = 2∠A

Сейчас мы можем рассмотреть треугольники AMС и DMС. Так как MD перпендикулярно AB, то ∠MDC также равен 90°. Нам нужно найти угол между прямой MD и плоскостью ABC, что эквивалентно углу МBC.

Если мы находим угол МВС в треугольнике МDC, то мы найдем искомый угол. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольника МBC:

sin(∠MBC) = sin(∠MCB) * sin(∠BMC) / sin(∠C)

У нас есть значения угла ∠MCB (45°) и ∠BMC (90°). Значит, нам нужно найти sin(∠C).

Так как ∠C = 2∠A, мы можем использовать теорему синусов для треугольника ABC:

sin(∠C) / sin(∠A) = AC / BC

Так как ∠C = 2∠A, мы можем записать:

sin(2∠A) / sin(∠A) = AC / BC

Обозначим sin(∠A) как x. Тогда sin(2∠A) равно sin(∠A + ∠A) = 2sin(∠A)cos(∠A).

Используя это равенство, мы получаем:

2sin(∠A)cos(∠A) / sin(∠A) = AC / BC

2cos(∠A) = AC / BC

Теперь мы можем записать sin(∠C) в терминах ∠A:

sin(∠C) = sin(2∠A) = 2sin(∠A)cos(∠A) = 2x(1 - x^2)

Теперь, используя все эти значения, мы можем рассчитать sin(∠MBC):

sin(∠MBC) = sin(∠MCB) * sin(∠BMC) / sin(∠C)
sin(∠MBC) = sin(45°) * sin(90°) / (2x(1 - x^2))

sin(∠MBC) = (sqrt(2)/2) * 1 / (2x(1 - x^2))
sin(∠MBC) = sqrt(2) / (4x(1 - x^2))

Таким образом, мы нашли sin(∠MBC). Чтобы найти угол ∠MBC, мы можем использовать обратную функцию синуса:

∠MBC = arcsin(sqrt(2) / (4x(1 - x^2)))

Вот и наш окончательный ответ. Мы нашли угол ∠MBC, который является углом между прямой MD и плоскостью ABC.