Если забыть про условие задачи и поступить так - провести через выбранную точку Р на AD плоскость II DBC. Точки пересечения АВ и АС с этой плоскостью обозначим M1 и N1. Легко показать, что прямая РN1 II DC (если бы это было не так, то у параллельных по построению плоскостей DBC и PM1N1 была бы общая точка), и отношение AN1 : N1C = AP : PD по свойству параллельных прямых в плоскости (это свойство - что параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки у любых секущих). В плоскости ADC через точку Р можно провести ТОЛЬКО одну прямую II DC, поэтому прямая PN1 совпадает с прямой PN (точка N задана в задаче). Точно так же доказывается, что PM1 II DB и совпадает с прямой РМ (точка М задана в задаче).
Итак, получилось, что плоскость, параллельная DBC, проходящая через точку P, содержит точки M и N (или можно сказать - две проходящие через Р несовпадающие прямые MP и NP). Поскольку через 3 различных точки (или можно сказать - через 2 несовпадающие пересекающиеся прямые) можно провести ТОЛЬКО одну плоскость, то утверждение задачи доказано.
Поставим точку A на меньшей из дуг MN. Вписанный угол MAN измеряется половиной большей дуги MN и равен 120 градусам. Значит градусная мера большей из дуг MN равна 240 градусам, а меньшей - 120 градусам. Проведем из центра О окружности радиусы OM и ON к концам хорды MN. Получится равнобедренный треугольник с углом при вершине MON 120 градусов, и углами при основании OMN и ONM, равными по 30 градусов. Проведем в треугольнике OMN высоту (она же медиана и биссектриса) ОК. Тогда ОК равна ОМ/2=8/2=4. По Пифагору КМ=4*sqrt(3), тогда MN=8*sqrt(3). sqrt(3) = это квадратный корень из 3.