Сторона правильного 6-угольника равна радиусу окружности, так как если соединить центр с вершинами, 6-угольник разобьется на 6 равносторонних треугольников со стороной R. сторона квадрата равна R√2, так как квадрат разбивается на 4 прямоугольных равнобедренных треугольника, чьи катеты равны R.
1 случай. Точка A лежит между B и C. Проведем диаметр AE и рассмотрим треугольники ABE и ACE. Они прямоугольные, так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. Гипотенуза первого треугольника, будучи равна 2R, в два раза больше катета AB. Следовательно, угол BEA =30°, а тогда угол BAE=60°. Во втором треугольнике катеты равны (надо применить теорему Пифагора) ⇒ угол CAE=45°. В сумме получается угол BAC=60°+45°=105°.
2 случай получается из первого, если треугольник ACE, построенный в первом случае, симметрично отразить относительно диаметра AE. Тогда угол BAC будет равен не сумме, а разности полученных выше углов: 60°-45°=15°.
А) этот вопрос совсем простенький - достаточно доказать, что AM = AS; тогда высота AT треугольника AMS одновременно будет и медианой. Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника в основании AH, равен стороне, деленной на √3, то есть AH = 4; а высота - в полтора раза больше, то есть AM = 6; AS^2 = AH^2 + SH^2 = 4^2 + 2^2*5 = 36; AS = 6 = AM; доказано. б) тут посложнее, но не на много. Дело в том, что прямые эти взаимно перпендикулярны (AT - высота пирамиды). Поэтому надо найти расстояние от точки T до SB. Из пункта а) следует, что это расстояние в 2 раза меньше, чем от M до SB, то есть половина высоты (к гипотенузе) прямоугольного треугольника MSB c катетом BM = 2√3 и гипотенузой 6; SM^2 = 6^2 - (2√3)^2 = 24; SM = 2√6; высота MSB равна (2√3)*(2√6)/6 = 2√2; а нужное расстояние в 2 раза меньше, то есть просто √2;
