Для доказательства отношения длин отрезков AO:OC=BO:OD, будем использовать свойство подобных треугольников и параллельности сторон трапеции.
1. Введем дополнительные обозначения: точка E будет серединой отрезка AB, а точка F – серединой отрезка CD.
2. Так как стороны AB и CD параллельны, имеем AB || CD. Следовательно, по теореме о пропорциональности длин отрезков AB и CD, можно записать AB/CD = AE/CF.
3. Заметим, что треугольники AOE и COF подобны по двум сторонам и углу (по стороне OE, общему углу O и стороне CF): AO/CO = AE/CF.
4. Аналогично, треугольники BOE и DOF подобны по двум сторонам и углу (по стороне OE, общему углу O и стороне DF): BO/DO = BE/DF.
5. Так как точки E и F – середины соответствующих сторон AB и CD, можно записать AE/CF = BE/DF = 1/2.
6. Заметим, что AE/CF = BE/DF = 1/2 = 2/4. Подставим это равенство в предыдущие пропорции, получим AO/CO = 2/4 и BO/DO = 2/4.
7. Теперь рассмотрим отношение AO:OC. Мы знаем, что AO/CO = 2/4 = 1/2, но это же отношение можно записать как AO/OC.
Таким образом, мы доказали, что AO:OC=BO:OD, используя свойства подобных треугольников, параллельность сторон трапеции и факт, что точки E и F – середины соответствующих сторон.
