Найдем AD10-6,4=3,6 Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на подобные треугольники. Из подобия ∆ ABC и ∆ ADC следует отношение: АВ:АС=АС:AD ⇒ AC²=AB*AD=10*3,6=36 AC=√36=6 Из подобия ∆ ABC и ∆ ВDC следует отношение: АВ:ВС=ВС:BD ⇒ BC²=AB*BD=64 BC=8 Из подобия ∆ BCD и ∆ ACD следует отношение: ВD:CD=CD:AD CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04 CD=√23,04=4,8 Отсюда следует свойство высоты, которое полезно запомнить: а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. ---- б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. ------- Тогда решение задачи можно записать короче: CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04 CD=√23,04=4,8 см BC²=AB*BD=64 BD=√64=8 см AC²=AB*AD=10*3,6=36 AC=√36=6 см
1) Пусть дана трапеция ABCD, где BC - меньшее основание. Проведем 2 высоты BB₁ и CC₁ к другому основанию. Тогда получим 2 прямоуг. треуг. (AB₁B и DC₁C) и прямоугольник BB₁C₁C. Площадь прямоуг. равна 15*8=120, значит сумма площадей треуг. равна 48, т.к. треуг. равны, то площадь треуг AB₁B=24=AB₁*BB₁/2, значит AB₁=6=C₁D. Зн. AB=CD=10. Тогда периметр = 10+10+15+15+6+6=62. ответ: 62 2) Пусть угол KMA = x, а угол MKA = y, тогда x+y=180-105=75. Угол PKM = 2x, А PMK = 2y, т.е. их сумма равна 2(x+y) = 150, тогда угол KMP = 30. ответ: 30° 3) AB=CD, углы ABC=CDA и BCD=DAB, т.к. ABCD - параллелограмм. Углы BAM=DAM=DCK=BCK, т.к. CK и AM - биссектрисы. В итоге: углы ABM=CDK, KCD=BAM, AB=CD, значит треугольники равны по УСУ(2 угла и сторона между ними.)
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на подобные треугольники.
Из подобия ∆ ABC и ∆ ADC следует отношение:
АВ:АС=АС:AD ⇒
AC²=AB*AD=10*3,6=36
AC=√36=6
Из подобия ∆ ABC и ∆ ВDC следует отношение:
АВ:ВС=ВС:BD ⇒
BC²=AB*BD=64
BC=8
Из подобия ∆ BCD и ∆ ACD следует отношение: ВD:CD=CD:AD
CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04
CD=√23,04=4,8
Отсюда следует свойство высоты, которое полезно запомнить:
а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
----
б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
-------
Тогда решение задачи можно записать короче:
CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04
CD=√23,04=4,8 см
BC²=AB*BD=64
BD=√64=8 см
AC²=AB*AD=10*3,6=36
AC=√36=6 см