Question

Образующая конуса равна 16 см. угол при вершине его осевого сечения 120 градусов. вычислите объем конуса. ! и решение если можно максимально подробно расспишите

Answer 1

$SO$ -  высота конуса

$SK=SL$  - образующие конуса

$OK=OL$ - радиусы

Δ $KSL$  - осевое сечение конуса

$\ \textless \ KSL$ -  угол при вершине осевого сечения конуса

$V= \frac{1}{3} \pi R^2*H$

$\ \textless \ KSL=120^\circ$

$SL=16$  см

$V= \frac{1}{3} \pi *OL^2*SO$

Рассмотрим осевое сечение конуса:

Δ $KSL$ -  равнобедренный треугольник, так как 

$SK=SL=16$  см

$SO -$  высота, медиана и биссектриса Δ $KSL$, 

т. е. $SO$ ⊥ $KL$

$OL=OK$   и $\ \textless \ KSO=\ \textless \ LSO=60^\circ$

Δ $SOL -$ прямоугольный  ($\ \textless \ SOL=90^\circ$)

$\ \textless \ LSO=60^\circ$,  значит  $\ \textless \ SLO=30^\circ$

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Значит $SO= \frac{1}{2}SL$

$SO= \frac{1}{2}*16=8$  см

По теореме Пифагора найдем 
$OL= \sqrt{SL^2-SO^2} = \sqrt{16^2-8^2} = \sqrt{(16-8)(16+8)} = \sqrt{8*24}=$$\sqrt{8*8*3}=8 \sqrt{3}$  см

$V= \frac{1}{3}* \pi *(8 \sqrt{3})^2*8= \frac{1}{3}* \pi *64*3*8=512 \pi$  см³

ответ: $512 \pi$  см³