Пусть стороны треугольника равны a,b,c. Известно, что средняя линия, параллельная стороне a, вдвое меньше её и равна a/2. Аналогично, две другие средние линии равны b/2 и c/2. Треугольник со сторонами a/2, b/2, c/2, очевидно, подобен исходному треугольнику по отношению трёх соответствующих сторон. При этом коэффициент подобия равен 1/2. Значит, площадь этого треугольника равна (1/2)²=1/4 площади исходного (отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия), то есть равна 48/4=12.
1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC-общая сторона, угол 1=углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB=CD, AD= BC и угол B=углу D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем угол A=углу 1+угол 3=угол 2+угол 4=углу C. 2. Пусть О-точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, угол 1= углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечение параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответсвенно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать
Дан квадрат АВС1Д1. О1О2 - ось цилиндра. АВ⊥О1О2. Диагонали квадрата пересекаются наоси цилиндра в точке О. Через точку О проведём отрезок РЕ║АД1. ∠О2ОЕ=α. Сторона квадрата равна а. АЕ=ЕВ=а/2. Построим плоскость перпендикулярно оси О1О2, проходящую через сторону АВ. Проекция квадрата АВС1Д1 на эту плоскость будет прямоугольник АВСД. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются на оси цилиндра в точке М. Половина диагонали этого прямоугольника и есть радиус цилиндра. АМ=R. В тр-ке ЕОМ ЕМ=ОЕ·sinα=a·sinα/2 (ОЕ=РЕ/2=а/2). В тр-ке АМЕ АМ²=АЕ²+ЕМ²=(а²/4)+(а²sin²α/4)=2a²sin²α/4. AM=a√2·sinα/2 ответ: радиус цилиндра
