Т.к. АВ=СД, то трапеция равнобокая, значит углы при основании равны, т.е. УголА=углуД. Опустим высоты ВМ = СК, рассмотрим равные треугольнии АБМ и СКД. Угол АВМ = 90-60=30. Поэтому катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, т.е АМ=2/2=1. Аналогично КД=1. Основание ВС известно, Надо найти основание АД=АМ+ВС+КД=1+2+1=4. ответ: 4.
Опустим из В высоту на АС. В прямоугольном тр-ке ВСН отношение катета НС к гипотенузе ВС=3:5. ⇒ тр-к ВНС - египетский, и НС:ВН:ВС=3:4:5. ( можно проверить т.Пифагора) Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикулярного к ней отрезка. Так как расстояние от М до сторон АD и АС одинаково, то по свойству биссектрисы угла точка М лежит на биссектрисе угла DАС и является центром вписанной в этот угол окружности с радиусом МТ=МЕ=9. Нарисуем эту окружность. Проведем радиус МР как продолжение перпендикуляра из М к DС. Проведем через Р касательную ОК. ОК||МТ⇒ OK|| DC, треугольник АОК - прямоугольный и подобен треугольнику АDС. В то же время тр-к АDС подобен треугольнику ВНС - оба прямоугольные с общим углом С. ⇒ Треугольник АОК - подобен тр-ку ВНС и ОК:АО:АК=3:4:5 Пусть коэффициент этого отношения будет х. Тогда ОК=3х, АО=4х, АК=5х ОР=ТМ=ТО=МР=R=9 Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности r=(а+b-c):2 , где a и b- катеты, с - гипотенуза. 18=3х+4х-5х ⇒ х=9 АО=4*9=36 В треугольнике АОК отрезок ДО=ТО-ТД=9-3=6 АD=36-6=30
Точки А и О - вершины прямых углов САК и СОК, т.к. вписанные углы САК и СОК опираются на диаметр. Следовательно, в треугольнике CNK отрезки СО и КА - высоты, т.к. перпендикулярны его сторонам CN и KN. Точка Т - пересечение высот. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. В данном случае точка Т и есть точка пересечения высот. Отрезок, проведенный из вершины треугольника через точку пересечения высот, проведенных из двух других вершин, является высотой. ⇒ прямая NT пересекает прямую СК под углом 90º.
