1). См. рис.1
По условию, т.О - середина отрезков АВ и СD.
Кроме того, AB⊥CD.
Четырехугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, является ромбом.
Следовательно, AD = DB = BC = CA = 17 (см)
В ΔАОD и ΔСОB:
АО = ОВ; СО = ОD; ∠АОD = ∠COB = 90°
Следовательно, прямоугольные треугольники ΔАОD и ΔСОB равны по двум катетам.
---------------------------------
2). См. рис.2
В ΔADM и ΔАКМ:
∠ADM = ∠AKM = 90°
∠DAM = ∠KAM = 70° (АМ - биссектриса ∠ВАС)
Тогда:
∠DMA = ∠KMA = 180 - (90 + 70) = 20°
Следовательно, прямоугольные треугольники ΔADM и ΔАКМ равны по общей гипотенузе и острому углу.
--------------------------------
3). В ΔАВЕ и ΔDCE:
∠ABE = ∠DCE = 90°
∠BEA = ∠CED, как вертикальные
Тогда:
∠ВАЕ = ∠СDE = 20°
и ∠BEA = ∠CED = 180 - (90 + 20) = 70°
Так как ∠ВАЕ = ∠СDE = 20° и АВ = СD, то:
ΔABE = ΔDCE по катету и прилежащему острому углу.
Величина угла ∠АЕD:
∠АЕD = 180 - 70 = 110°
В ΔАЕD:
AE = ED, как гипотенузы в равных треугольниках.
Следовательно, ΔАЕD - равнобедренный и:
∠EAD = ∠EDA = (180 - 110) : 2 = 35°
В ΔABD и ΔACD:
∠BAD = ∠CDA = 20 + 35 = 55°
и АВ = CD
Тогда:
ΔABD = ΔACD по катету и прилежащему острому углу.
Объяснение:
4. Используем одно из свойств прямоугольных треугольников: если катет прямоугольного треуг-ка равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. В нашем случае КН=1/2ТН, значит, <KTH=30°.Зная, что сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, найдем угол ТНК:
<THK=90-<KTH=90-30=60°.
5. Используем один из признаков равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треуг-ка соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треуг-ки равны. В нашем случае AD - общая гипотенуза, а углы BAD и CAD равны по условию, т.к. DA - биссектриса. Треугольники ABD и ACD равны. Равны и их катеты АВ и АС.
Для этого:
a. Проводим окружность с центром в произвольной точке В на прямой "а" радиусом ВА.
b. На прямой "а" в месте пересечения с этой окружностью ставим точку С.
c. Проводим вторую окружность с центром в точке С радиусом ВА.
d. Проводим третью окружность с центром в точке А радиусом ВА. Получаем точку D на пересечении этой и предыдущей окружностей.
e. Через точки D и А проводим прямую DА. Это и будет прямая "b", параллельная прямой "а".
Прямые "а" и "b" параллельны, так как АВСD - параллелограмм (ромб) по построению - все противоположные стороны попарно равны.
А так как по теореме: "Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну", то построенная нами прямая - единственная.
2) AA1║BB1, AA1║CC1, AA1║DD1, BB1║CC1, BB1║DD1, CC1║DD1.
AD║BC, AD║B1C1, AD║A1D1, BC║B1C1, BC║A1D1, B1C1║A1D1.
AB║A1B1, AB║D1C1, AB║DC, A1B1║D1C1, A1B1║DC, D1C1║DC.
3) АКСИОМА параллельных прямых: "Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной".
Прямые b и с не параллельны (дано) значит они пересекаются в некоторой точке Р. Предположим, что прямые "а" и "с" параллельны. Тогда получается, что через точку Р проходит две прямые ("b" и "с"), параллельные прямой "а", что противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые "а" и "с" не параллельны, что и требовалось доказать.
4) Пусть параллельные прямые "а" и "b" пересекаются третьей прямой "с" в точках А и В.
Теорема: "Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну". Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Следовательно, точка А, принадлежащая прямой "а" и прямой "с", принадлежит плоскости α. Точно также, точка В, принадлежащая прямым "b" и "с", принадлежит плоскости α. Через две точки можно провести только одну прямую. А так как две точки (А и В) принадлежат одной плоскости, то и все точки прямой АВ, пересекающей параллельные прямые "а" и "b", лежат в этой плоскости. Это же касается и точек С и D, принадлежащих прямым "а" и "b" и любой другой прямой, пересекающей прямые "а" и "b". Что и требовалось доказать.