Расстояние от центра описанной около основания этого тетраэдра окружности до грани - перпендикуляр к этой грани.
На рисунке - это отрезок ОК.
Центр описанной около правильного треугольника окружности ( а грани правильного тетраэдра - правильные треугольники) лежит на пересечении высот треугольника на расстоянии одной трети высоты от стороны.
Найдем высоту треугольника по формуле
h=a√3):2, а так как а=1,то
h= √3):2
ОМ=√3):2):3=√3):6
Так как все грани правильного тетраэдра равны,
SM равна h=√3):2
Расстояние КО будем находить из прямоугольного треугольника SОМ
Применим теорему:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
Здесь этот катет - ОМ
ОМ²=МК·SM
(√3):6)²=МК·(√3):2)
МК=3/36:(√3):2)=6/36):√3=1/6√3
ОК²=МО²-КМ²
ОК²=3/36 -1/108=9/108-1/108=8/108=2/27=6/81
ОК =√(6/81)=√6):9
В В1
А Н С А1 С1
АВ=ВС=5см, А1В1=В1С1, уголВ=углуВ1, ВН=4см
т.к. треугольники равнобедренные, то углы при основании равны. А т.к. уголВ=углуВ1 => уголА=углуА1=уголВ=уголВ1. => треугольники подобны.
Т.к. ВН - высота равнобедренного треугольника, то она является и медианой (по св-вам равн. треуг.) => АН^2=5^2-4^2=9
АН=3см => АС=6см.
Из подобия треугольников:
АВ:АС=А1В1:А1С1
5:6=15:А1С1
А1С1=6*15:5=18см
PтреугольникаА1В1С1=15+15+18=48см
призма АВСДА1В1С1Д1, в основании квадрат АВСД, АВ=ВС=СД=АД=2, АС1-диагональ призмы, уголС1АС=45, АС=корень(2*АД в квадрате)=корень(2*4)=2*корень2,
треугольник АС1С прямоугольный, уголАС1С=90-уголС1АС=90-45=45, треугольник АС1С равнобедренный, АС=СС1=2*корень2=высота призмы, АС1=корень(АС в квадрате+СС1 в квадрате)=корень(8+8)=4,
площадь боковая=периметрАВСД*СС1=4*2*2*корень2=16*корень2
проводим АВ1 и ДС1, площадь сечения прямоугольник АВ1С1Д, АВ1=ДС1=корень(СДв квадрате+СС1 в квадрате)=корень(4+8)=2*корень3, площадь сечения=АД*ДС1=2*2*корень3=4*корень3
объем=площадьАВСД*СС1=2*2*2*корень2=8*корень2