Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, АВ=ВС - боковые стороны, АС - основание, ВЕ - высота, биссектриса, медиана треугольника, АК делит сторону ВС в отношении 2:5, считая от вершины С, т.е. СК:КВ=2:5. Пусть ВЕ пересекается с АК в точке О.
Биссектриса треугольника обладает следующим свойством: биссектриса делит противолежащую сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.
ВЕ - биссектриса треугольника АВС и соответственно ВО - биссектриса треугольника АВК.
Пусть х - коэффициент пропорциональности, то СК=2х, КВ=5х, то ВС=АВ=7х. Значит ВО делит сторону АК в отношении 7:5 считая отвершины А, т.е. АО:ОК=7:5
Пусть дана трапеция ABCD, BC||AD AC=3, BD=5
среднняя линия трапеции EF=2, по свойству средней линии трапеции
BC+AD=2*EF=2*2=4
Пусть диагонали пересекаются в точке О
Пусть BC=x см, тогда AD=4-x см.
Опустим высоты BK и CN (точки K и N лежат на основании AD), тогда KN=BC=x
Пусть AK=y, тогда DN=4-x-x-y=4-2x-y
AN=x+y
DK=4-x-y
Высоты трапеции равны, поэтому
5^2-(4-x-y)^2=3^2-(x+y)^2
Сделаем замену
x+y=t
25-(4-t)^2=9-t^2
25-16+8t-t^2=9-t^2
9+8t=9
8t=0
t=0
значит рисунок сделано неверно, и точка К лежит вне трапеции
Пусть AK=y, AD=4-x, KN=BC=x, KD=4-x+y=4-(x-y), AN=x-y
тогда используя равенство высот
5^2-(4-(x-y))^2=3^2-(x-y)^2
Сделаем замену
k=x-y
25-(4-k)^2=9-k^2
25-16+8k-k^2=9-k^2
9+8k=9
8k=0
k=0
а значит x=y
значит AN=0 и точки А и N совпдают, и диаональ АС является высотой трапеции
Площадь трапеции равна произведению средней линии трапции на ее высоту, поэтому
площадь данной трапеции равна EF*AC=2*3=6
ответ: 6
<A=<C=(180-120):2=30⁰ ( как углы при основании в равнобедренном треугольнике)
ВК медиана проведенная к основанию АС--явл высотой
значит угол <BKC=<BKA=90⁰
ВК=1/2 ВС, как катет лежащий против угла =30°(в равнобедренном треугольнике=1/2 гипотенузы)
ВК=14/2=7 см