Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁. АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁. Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁. Доказательство:
Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁. Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁ и АС с А₁С₁. Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут. Так как АС = А₁С₁, точки С и С₁ тоже совпадут. Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁. Так как треугольники совпали при наложении - они равны.
При доказательстве признака использована аксиома: через любые две точки можно провести единственную прямую
Прямые АВ и CD не параллельные, то есть пересекающиеся. Дано: угол ABC = угол BCD = Д-ть АВ не параллельно CD Решение1) Предположим, что прямые АВ и СD параллельны. Тогда угол АВС = углу BCD = (как при параллельных прямых АВ и CD и секущей BC)2) Так как сумма углов в треугольнике равна (по теореме о сумме углов в треугольнике), мы приходим к противоречию с первым пунктом моего решения так как угол СВD и угол ВСD в сумме уже дают 3) Мы пришли к противоречию, значит наше предположение не верно, и значит прямая АВ не параллельна CD. Ч.т.
Ладно, это одна из "любимых" тем - тетраэдр, вписанный в куб. Я напишу решение, но вам придется разбираться и оформлять самостоятельно. а) Фигура ACB1B - правильная треугольная пирамида. В основании её равносторонний треугольник ACB1: AC = AB1 = CB1 (диагонали граней куба), и боковые ребра равны между собой BA = BC = BB1; (это просто стороны куба). Это означает, что точка B проектируется на плоскость ACB1 в центр треугольника ACB1 - точку O. (ну, у равностороннего треугольника все центры совпадают, можете выбирать, какой именно центр, но по логике это центр описанной окружности). То есть, BO перпендикулярно плоскости ACB1. Фигура ACB1D1 - тоже правильная треугольная пирамида, причем у неё равны между собой все ребра (все ребра этой пирамиды - диагонали граней куба). Поэтому D1O перпендикулярно плоскости ACB1; (аналогично предыдущему абзацу). Поскольку через точку O можно провести только один перпендикуляр к плоскости ACB1, точки B, O, D1 лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости ACB1, что и требовалось доказать. б) Легко видеть, что прямая C1D перпендикулярна плоскости A1D1C (в этой плоскости еще и точка B лежит), потому что C1D перпендикулярна D1C и A1D1 (A1D1 перпендикулярная грани CC1D1D). Точно также прямая A1D перпендикулярная плоскости AD1C1 (тоже, кстати, проходящей через точку B). Поэтому (внимание! это - решение!) угол между плоскостями равен углу между прямыми A1D и C1D. Поскольку треугольник A1DC1 - равносторонний, искомый угол равен 60°
Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.
АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.
Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁ и АС с А₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.
Так как АС = А₁С₁, точки С и С₁ тоже совпадут.
Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.
Так как треугольники совпали при наложении - они равны.
При доказательстве признака использована аксиома: через любые две точки можно провести единственную прямую