Question

Четыре точки разбивают окружность на дуги, длины которых образуют прогрессию со знаменателем 3. найдите меньший угол между диагоналями четырехугольника, полученного путем последовательного соединения этих точек.

Answer 1

Ориентир по рисунку . 
Полученный четырехугольник будет вписанным в окружность.
Так как дуги по формуле равны $L=\frac{\pi*r*n}{180}$ , где $n$ -  центральный угол     . 
 Пусть угол  $AOD=n$ , дуга $\wedge AD=x$ . 
 $x=\frac{\pi*r*n}{180}\\ 3x=\frac{\pi*r*n_{1}}{180}\\ 9x=\frac{\pi*r*n_{2}}{180}\\ 27x=\frac{\pi*r*n_{3}}{180}\\\\ n+n_{1}+n_{2}+n_{3}=360\\\\ n_{1}=3n\\ n_{2}=9n\\ n_{3}=27n \\ n=9а\\ n_{1}=27а\\ n_{2}=81а\\ n_{3}=243а$,
 Заметим что  углы $BDC \ \ BOC$ итд опираются на одну и ту же дугу. 
 По теореме  о вписанном угле  , вписанный     угол   $BDC=\frac{BOC}{2}$ 
выражая все углы 
получим 
 $BDC=40.5а\\ ADB=13.5а\\ CBD=121.5а\\ ABD=4.5а\\$
$ACB=13.5\\$ 
 тогда угол между диагоналями 
 $180-121.5-13.5=45$ он самый наименьший