Рассмотрим грань AA1D1D. AA1=3, AD=3. Проведем в этой грани диагональ A1D. Рассматриваем прямоугольный треугольник AA1D. По теореме Пифагора находим A1D (это гипотенуза прямоугольного треугольника, AA1 и AD - его катеты). Считаем, получается, что A1D=5 см. По подобию в противоположной грани BB1C1C B1C= 5 см. Теперь рассматриваем диагональное сечение DA1B1C. Это прямоугольник, длина которого равна 5, а ширина 3. Находим площадь: 5*3=15 см квадратных. Задача решена.
К сожалению, у меня сейчас нет возможности сделать качественный скан чертежа. Но там все видно. 1) Пусть точка A - произвольная точка окружности. AC и BD - две взаимно перпендикулярные хорды, пересекающиеся в заданной точке P. Середины сторон E, F, G, H четырехугольника ABCD все принадлежат искомому множеству. 2) EFGH - прямоугольник, поскольку EF II AC; FG II BD; GH II AC; EH II BD; как средние линии соответствующих треугольников (к примеру, EF - средняя линия треугольника ABC). Поэтому EG = FH; и эти два отрезка делятся пополам в точке их пересечения. 3) Ясно, что (к примеру) OG перпендикулярно CD; поскольку G - середина хорды в окружности с центром O. С другой стороны, в прямоугольном треугольнике APB PE - медиана, поэтому PE = AE; и следовательно, ∠BAP = ∠EPA; Если продлить EP за точку P до пересечения с CD в точке K, то ∠CPK = ∠EPA = ∠BAP; кроме того, ∠ABD = ∠ACD; таким образом, у треугольников ABP и CPK по два равных угла. Поэтому равны и углы ∠BPA = ∠CKP; то есть EP перпендикулярно CD; следовательно EP II OG; (вот для чего все городилось :)) Очевидно, что точно также можно показать, что OE II GP; (обе прямые перпендикулярны AB) Поэтому OEPG - параллелограмм, и его диагонали EG и PO делятся точкой пересечения пополам. 4) Собирая всё, можно заключить, что независимо от положения точки A диагонали прямоугольника EFGH пересекаются в середине отрезка OP. 5) На этом "чисто геометрическая" часть заканчивается, и наступает короткое вычислительное заключение. Ясно, что EF = AC/2; FG = BD/2; (если кто уже забыл, напомню - как средние линии). С другой стороны, если соединить центр O с M - серединой AC и N - серединой BD, то получится прямоугольник OMPN; и OM^2 + ON^2 = OP^2; при этом OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - EF^2; (AM = AC/2 = EF) ON^2 = OD^2 - ND^2 = R^2 - FG^2; если это сложить, получится OP^2 = 2*R^2 - (EF^2 + FG^2); или EG^2 = 2*R^2 - OP^2 = 2*R^2 - d^2; (d = OP) то есть длина диагонали четырехугольника EFGH не зависит от положения точки A. Все середины хорд (вообще все, при любом положении точки A) равноудалены от точки Q - середины OP. 6) То есть искомое множество - окружность с центром в середине OP и ДИАМЕТРОМ D^2 = 2*R^2 - d^2; 7) Для проверки можно взять случай совпадения O и P, тогда все хорды - стороны вписанных квадратов, а нужное множество - вписанная в эти квадраты со стороной D = R√2; окружность, диаметр которой равен стороне квадрата.
Рассмотрим грань AA1D1D. AA1=3, AD=3. Проведем в этой грани диагональ A1D. Рассматриваем прямоугольный треугольник AA1D. По теореме Пифагора находим A1D (это гипотенуза прямоугольного треугольника, AA1 и AD - его катеты). Считаем, получается, что A1D=5 см. По подобию в противоположной грани BB1C1C B1C= 5 см. Теперь рассматриваем диагональное сечение DA1B1C. Это прямоугольник, длина которого равна 5, а ширина 3. Находим площадь: 5*3=15 см квадратных. Задача решена.