Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите что углы CC1A1 и СAA1 равны.
Доказательство через вписанные углы в описанной окружности.
Т.к. в прямоугольных треугольниках АС1С и АА1С общая гипотенуза, то вокруг них можно описать общую окружность. В ней вписанные углы CC1A1 и СAA1 опираются на дугу, стягиваемую общей для них хордой. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, что и требовалось доказать.
∆ АЕС1 и ∆ СЕА1 - прямоугольные и имеют равные вертикальные углы при Е. - Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Отношения катетов, противолежащих равным углам подобных треугольников, к гипотенузе - равны ( это отношение - синусы равных углов).⇒
ЕС1:ЕА=ЕА1:ЕС.
Рассмотрим ∆ ЕАС и ∆ ЕА1С1. Они имеют равные вертикальные углы при Е, а их стороны. содержащие равные углы, пропорциональны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. то такие треугольники подобны.
Следовательно, ∆ЕАС и ∆ ЕА1С1 подобны.
Углы ЕАС и ЕС1А1 лежат напротив сходственных сторон, следовательно, равны, ч.т.д
Если i, j и k - векторы, по модулю равные единице и направленные по координатным осям Ox, Oy и Oz, то разложение вектора А по трем координатным осям выражается формулой A=Axi+Ayj+Azk, где Ax, Ay и Az - проекции вектора А на координатные оси Ox, Oy и Oz. Величины Ax, Ay и Az - проекции вектора А на координатные оси - называются координатами вектора. Если вектор А имеет начало в начале координат, а его конец А имеет координаты x, y и z? то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца: Ax=x; Ay=y; Az=z. В этом случае вектор А называется радиус вектором точки А. Радиус вектор обозначается обыкновенно через r r=xi+yj+zk
Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите что углы CC1A1 и СAA1 равны.
Доказательство через вписанные углы в описанной окружности.
Т.к. в прямоугольных треугольниках АС1С и АА1С общая гипотенуза, то вокруг них можно описать общую окружность. В ней вписанные углы CC1A1 и СAA1 опираются на дугу, стягиваемую общей для них хордой. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, что и требовалось доказать.
∆ АЕС1 и ∆ СЕА1 - прямоугольные и имеют равные вертикальные углы при Е. - Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Отношения катетов, противолежащих равным углам подобных треугольников, к гипотенузе - равны ( это отношение - синусы равных углов).⇒
ЕС1:ЕА=ЕА1:ЕС.
Рассмотрим ∆ ЕАС и ∆ ЕА1С1. Они имеют равные вертикальные углы при Е, а их стороны. содержащие равные углы, пропорциональны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. то такие треугольники подобны.
Следовательно, ∆ЕАС и ∆ ЕА1С1 подобны.
Углы ЕАС и ЕС1А1 лежат напротив сходственных сторон, следовательно, равны, ч.т.д