Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Пирамида SАВСД: основание АВСД (АВ=ВС=СД=АД=12). Вершина пирамиды S проектируется в точку О пересечения диагоналей основания (квадрата) АС и ВД, т.е. SO - это высота пирамиды. Проведем апофему пирамиды SK - это высота боковой грани. Двугранный угол SKО равен 30°. Из прямоугольного ΔSKО найдем SK (KO=АВ/2=12/2=6): SK=ОК/cos 30=6 / √3/2=12/√3=4√3 Площадь основания Sосн=АВ²=12²=144 Периметр основания Р=4АВ=4*12=48 Площадь боковой поверхности Sбок=P*SK/2=48*4√3/2=96√3≈166,28 Площадь полной поверхности Sполн=Sбок+Sосн=96√3+144≈310,28
Центр О вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Т.к. в равнобедренном треугольнике биссектриса ВН, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр О вписанной в равнобедренный ΔАВС окружности лежит на высоте и медиане ВН, проведенных к основанию. Значит угол ВНС - прямой и АН=СН. По условию СК/КВ=5/8, значит СК=5х, КВ=8х, ВС=СК+КВ=13х По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности СК=СН=5х, тогда АС=2*5х=10х Из прямоугольного ΔВНС найдем ВН=√(ВС²-СН²)=√(13х)²-(5х)²=√144х²=12х Площадь Sавс=ВН*АС/2 540=12х*10х/2 х=√9=3 СК=5*3=15 КВ=8*3=24 АВ=ВС=13*3=39 АС=10*3=30 Полупериметр р=(2АВ+АС)/2=(2*39+30)2=54 Радиус ОК=Sавс/p=540/54=10 Из прямоугольного ΔВОК найдем ВО: ВО=√(КВ²+ОК²)=√24²+10²=√676=26
ответ:2,4