Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.
Доказательство:
Свойства вертикальных углов
Для лучшего понимания доказательства нарисуем небольшой рисунок,состоящий из двух пересекающих ся прямых и двух пар вертикальных углов.Рассмотрим,например,вертикальные углы 1 и 3.Тогда угол 2 является смежным как с углом 1,так и с углом 3 и ,значит,в соответствии со свойством 1.1,как угол 1,так и угол 3 дополняют угол 2 до 180 градусов,а это означает,что угол 1 равен углу 3.тем самым мы доказали свойства углов 2