Question

Для эйлен. 1) диагонали трапеции klmn с основаниями lm и kn пересекаются в точке p. найдите основания трапеции, если известно, что kp=15см, km=21см, а средняя линия трапеции равна 14 см. 2) диагональ равнобедренной трапеции равна 8 дм и перпендикулярна боковой стороне. средняя линия трапеции равна 6,4 дм. найдите боковую сторону и меньшее основание трапеции. 3) из точки а окружности радиуса 8 см проведены две равные хорды ab и ac, образующие угол=60гр. найдите расстояние от центра этой окружности до прямой bc. 4) на окружности с центром o лежит точка b. ab-хорда, ac-касательная, угол bac=35гр. найдите угол aob 5) из точки а, лежащей вне окружности, проведена касательная ab к окружности (b-точка касания. известно, что ab=5, а расстояние от точки a до центра окружности равно 5√2. найдите радиус окружности. 6) из точки d к окружности с центром o проведены касательные de и df (eи f-точки касания). длина отрезка de равна 8 см, а тангенс угла edo равен 0,75. найдите: а) длину окружности; б) площадь треугольника edf. 7) из точки м к окружности с центром o и радиусом 12 см проведены касательные mk и mn (k и n-точки касания). найдите периметр треугольника mnk, если градусная мера дуги kn равна 120гр.

Answer 1

1)МР=КМ-КР=21-15=6.
Средняя линия - это полусумма оснований, тогда сумма оснований - это средняя линия ×2. LМ+KN=28.
Смотри рисунок.
ΔLPM подобен ΔКРN по первому признаку (угол LРМ=углу КРN как вертикальные,
углы MLN=LNK как внутренние накрест лежащие при параллельных LM и KL и секущей LN).
Отсюда вытекает следующее: $\frac{KP}{PM} = \frac{KN}{LM}; \frac{15}{6} = \frac{KN}{LM};15LM=6KN$
KN=28-LM
$15LM=6(28-LM);21LM=168;LM=8$
Тогда KN=28-8=20.
ответ: 8, 20.

3) Смотри второй рисунок. ОН - расстояние до ВС, являющееся перпендикуляром к ней.
АВС - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный ВОС ⇒ ВОС=2×60=120.
Рассмотрим ΔВОС - равнобедренный (ВО=ОС=R).
Угол ОВС=углу ОСВ=(180-120)/2=30
Рассмотрим прямоугольный ΔОНВ.
Катет ОН противолежит углу в 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы ОВ ( половине радиусу).
ОН=8/2=4.
ответ: 4.

4) Третий рисунок.
Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол ОАС=90 градусов.
Угол ОАС=угол ВАС+угол ВАО, откуда ВАО=90-35=55.
Треугольник АОВ - равнобедренный (ВО=АО=R), а значит угол АВО=углу ВАО.
Искомый угол АОВ=180-55-55=70.
ответ: 70.

5) Сюда, оказывается, можно добавить только три рисунка, так что построй сама, он легкий.
Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол АВО=90 градусов.
Из прямоугольного тр-ка АВО найдем ВО (который является радиусом) по теореме Пифагора.
$BO= \sqrt{ AO^{2}- AB^{2} }= \sqrt{ (5 \sqrt{2}) ^{2}- 5^{2} }= \sqrt{50-25}= \sqrt{25} =5$
ответ: 5.

6) В третьем вложении.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ДЕО.
$tgEDO= \frac{EO}{ED};EO=0,75*8=6$
Длина окружности 2пиR=2×3,14×6=37,68.
Из тр-ка ДЕО найдем гипотенузу ДО.
ДО²=ЕД²+ЕО²=64+36=100, ДО=10.
sinЕДО=6/10=0,6.
Рассмотрим прямоугольный тр-ик ЕДН.
sin ЕДН=ЕН/ЕД=0,6, откуда ЕН=0,6×8=4,8.
ЕF=2×EH=2×4,8=9,6
Все в том же тр-ке найдем ДН по теореме Пиф.
ДН²=ЕД²-ЕН²=64-23,04=40,96; ДН=6,4.
Площадь - это половина произведения высоты на основание, т. е. $\frac{1}{2}*DH*EF= \frac{1}{2} *6,4*9,6=30,72$
ответ: 37,68; 30,72.