1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.
Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.
2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.
докажем это.
рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.
Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.
2) ΔАВС, ∠С = 90°, ∠А = α = π/3, АВ = с = 20, АС=?
Решение.
АС/АВ = Сosα, ⇒ AC = ABCosα = cCosα
AC = cCosα
AC = 20Cosπ/3 = 20*1/2 = 10
АС = 10
3)ΔАВС, ∠А = ∠С = α = 30°, АВ = ВС = а = 12, АL=? ( АL - биссектриса)
Решение
1) ΔАВС , ∠А = ∠С = α = 30°, ∠В = 180° - 2*30° = 120°, АВ = ВС = а = 12
Ищем АС по т. косинусов
АС² = 12² + 12² - 2*12*12*Сos120² = 144 +144 + 288*1/2= 432
АС = 12√3
2) ΔАLC, ∠C = α = 30°, ∠LAC = α/2 = 15°,
∠ALC = 180° -(α +α/2) =180° -1,5α= 135°
AL ищем по т. синусов
AL/SinC = AC/Sin(180-1,5α)
AL= AC*Sinα/Sin1,5α = 12√3*Sinα/Sin1,5α
AL = 12√3*Sinα/Sin1,5α
AL = 12√3*1/2/√2/2= 6√3/√2/2 = 12√3/√2 = 6√6
АL= 6√6
по свойству биссектрисы: АС\АВ = ВС\ ВД ( ВД=х, ДС=30-х)⇒20\30=х\(30-х)⇒
60-2х=3х⇒х=12, значит, ВД=12, ДС=30-12=18
биссектриса АД=√(АС*АВ-ДС*ВД) = √(20*30-12*18)=√384=8√6