принадлежат данной пряммой
;
Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 13 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды.
ответ: 2 см
Объяснение.
Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга. (теорема).
Боковые грани образуют с основанием двугранные углы, величина которых по условию 45°.Сторонами их линейных углов являются высоты боковых граней и радиусы вписанной окружности, которые являются проекцией этих высот на основание и по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны сторонам треугольника в одной точке ( см. рисунок приложения.). Высота пирамиды МО, радиус вписанной окружности ОН и высота МН боковой грани образуют прямоугольный треугольник МОН. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то второй тоже 45° =>
∆ МОН - равнобедренный и МО=ОН=r .
Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, r=(a+b-c):2, где а и b - катеты, с - гипотенуза.
Стороны треугольника с гипотенузой 13 и катетом 5 из Пифагоровых троек с отношением сторон 5:12:13. Второй катет АС=12 ( проверьте по т.Пифагора). =>
ОН=r=(5+12-13):2= 2 см.
МО=ОН=2 см ( высота пирамиды)
Соединяем точки А₁, С₁ и К, так как они попарно лежат в одной грани.
А₁С₁ = 10√2 как диагональ квадрата.
ΔА₁D₁K: по теореме Пифагора
А₁К = √(A₁D₁² + D₁K²) = √(10² + 5²) = √125 = 5√5
ΔA₁D₁K = ΔC₁D₁K по двум катетам (A₁D₁ = C₁D₁ как ребра куба, D₁K - общий), значит А₁К = С₁К = 5√5
Рa₁c₁k = 10√2 + 5√5 + 5√5 = 10√2 + 10√5 = 10(√2 + √5).
КО - медиана и высота равнобедренного треугольника А₁С₁К.
По теореме Пифагора:
КО = √(А₁К² - А₁О²) = √(125 - (5√2)²) = √(125 - 50) = √75 = 5√3
Sa₁c₁k = 1/2 · A₁C₁ ·KO = 1/2 · 10√2 · 5√3 = 25√6
к =( у₂-у₁) / (х₂ - х₁)
к = (2-0) / (0-(-2)) = 2 / 4 = 0,5