Имеются. Например, если в четырехугольнике ABCD диагонали равны, серединные перпендикуляры к отрезкам BC и AD пересекаются в точке Q, а М и N - середины диагоналей AC и BD соответственно, то QN=QM и ∠NQM равен углу между диагоналями четырехугольника.
Действительно, треугольники AQC и DQB очевидно равны по трем сторонам, а значит совмещаются поворотом вокруг точки Q (синий и красный треугольники). Значит их медианы QN и QM тоже совместятся при этом повороте, т.е. QN=QM и ∠MQN равен углу между прямыми AC и DB (т.к. диагональ AC переходит в DB).
Не помню как правильно оформлять задачи, так что объясню своими словами. Т.к. BD=AC, AO=OC, BO=OD, AB=CD, BC=AD, то ABO и COD - равнобедренные треугольники, которые равны меж собой и BOC И AOD тоже равнобедренные треугольники, которые равны меж собой. Если угол ABO=36 гр., то и угол BAO=36 гр. => угол BOA 108 гр. => COD=108 гр., DCO=36 гр., CDO=36 гр.. Поскольку угол, например, BOA 108 гр, то угол AOD = 72 гр., а т.к. треугольник равнобедренный, то углы OAD и ODA = по 54 гр. И треугольник BOC=AOD. Ну и ответ: угол ADO=54 градуса. Кажись, много лишнего, но вроде бы нужно рисовать рисунок, там это пригодится.
1) 5+10 = 15 см - длина АВ
2) 15²-12²=ВС². (По теореме Пифагора) 225-144=81, ВС =√81=9 см (ВС=9 см)
3) Площ. АВС находим так (АС*ВС)÷2 , т.е. (12*9)÷2=54 см²
Теперь надо найти площ. треугольника МВК и вычесть ее из площ. АВС.
4) Т.к. углы АСВ и МКВ - прямые, а АВ=10 см, что составляет 2/3 от АВ, то ВК равно 2/3 от ВС, т.е. 6 см. ВК=6 см.
5) По теор. Пифагора МВ²-ВК²=МК², т.е 100-36=64, МК-√64=8 см
6) Площ. МВК находим так (МК*ВК)÷2 , т.е. (8*6)÷2= 24 см²
7) Площ. четырехугол. АМКС = 54-24=30 (30 см²)