Question

Впрямой призме в основании лежит прямоугольный равнобедренный треугольник . найти площадь сечения, проходящего через катет нижнего основания и середину гипотенузы верхнего, если расстояние между основаниями 4 иравно расстоянию от вершины нижнего основания до плоскости сечения.

Answer 1

Пока оформляла решение, ответ уже дали, и т.к. оно несколько отличается. даю вариант решения этой задачи. 
В прямой призме в основании лежит прямоугольный равнобедренный треугольник. Найти площадь сечения, проходящего через катет нижнего основания и середину гипотенузы верхнего, если расстояние между основаниями 4 и равно расстоянию от вершины нижнего основания до плоскости сечения.
Сделаем рисунок призмы.
Сечение пересекает верхнее основание призмы по прямой КМ, параллельной  СВ и, следовательно,  параллельной С₁В₁.
Так как К - середина катета С₁А₁, прямая КМ - средняя линия треугольника А₁С₁В₁.
С₁К=КА₁
Опустим на АС перпендикуляр КН. Он равен высоте призмы. Прямоугольники СС₁КН и АА₁КН равны, т.к. имеют равные стороны. 
⇒ их диагонали СК и АК также равны. 
⇒ Треугольник СКА - равнобедренный с высотой КН. 
АТ - также является высотой этого равнобедренного треугольника, проведенной к его боковой стороне КС ( расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр ) и по условию равна высоте призмы.
 ⇒ КН=АТ=4
Если высоты равнобедренного треугольника, проведенные  к основанию и боковой стороне,  равны, этот треугольник - равносторонний и все углы в нем равны 60°
АС=СВ=АК=СК
АС=СВ=КН:sin (60°)=8:√3 
КМ=СВ:2=4:√3 СК=АС=8:√3  и перпендикулярна СВ ( по теореме о трех перпендикулярах)
СКМВ - прямоугольная трапеция. Площадь трапеции равна произведению высоты (КС) на полусумму оснований. 
(КМ+СВ)=8:√3 + 4:√3 =12:√3 =4√3 
S (СКМВ)=(8:√3)*(4 √3):2=16 единиц площади)
----------
[email protected]

Answer 2

Построим заданное сечение(смотри рисунок). Плоскости АВС и А1В1С1 параллельны. Кроме того, АС параллельна А1С1. Значит, если через точку К провести прямую КМ параллельную А1С1, то она будет параллельна и АС. Тогда через параллельные прямые КМ и АС можно провести искомое сечение АМКС. Поскольку КМ параллельна АС1 и проходит через середину В1С1, то значит это средняя линия треугольника А1В1С1. Тогда А1М=Х/2. Где Х- сторона равнобедренного прямоугольного треугольника А1В1С1. Углы NВА и МАА1 равны , так как их стороны перпендикулярны. Поскольку по условию NВ –это расстояние до плоскости. Отсюда NВ=АА1. Сечение АМКС – это прямоугольная трапеция, поскольку АМ и АС находятся в перпендикулярных плоскостях. Далее по т.Пифагора  из треугольника АА1М находим АМ. Но из треугольника АNВ знаем, что эта величина равна Х. Приравниваем и получаем значение Х. Затем находим площадь трапеции АМКС. ответ – площадь сечения =16.