Один из углов равнобедренного треугольника равен 108 градусов. Найти соотношение длин двух биссектрис неравных углов.
Сделаем рисунок.
Пусть данный треугольник АВС, АВ=ВС
Углы при основании АС равны (180º -108º):2=36º, значит, нужно найти соотношение длин биссектрис ∠В и∠С, т.к. они не равны.
Биссектрисы ВН и СК делят углы пополам.
∠ КВО=108º:2=54º
∠ ВСК=36:2=18º
В ∆ ВКС ∠ ВКС=180º-108º-18º=54º
∠ КВО=108º:2=54º
∠ ВКС=∠ КВО ⇒
∆ КОВ - равнобедренный.
Проведем НМ параллельно АВ.
∠ ВНТ=∠КВН=54º как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей
углы КТН = ВКТ=54º на том же основании ⇒
∆ НОТ - равнобедренный.
ВН=ВО+ОН, КТ=КО+ОТ и оба состоят из суммы равных отрезков. ⇒
ВН=КТ.
НМ || АВ по построению, а АН=НС по условию.⇒
НМ - средняя линия и делит СК пополам.
ТС=ТК=ВН
СК= 2 ВН
СК:ВН=2:1.
Итак.
Призма правильная, поэтому в основаниях правильные четырёхугольники, то есть квадраты, а боковые рёбра перпендикулярны основанию призмы.
По условию ∠D₁BD = 30°; ∠D₁DB = 90° т.к. DD₁ ⊥ (ABC).
Таким образом в прямоугольном ΔD₁BD: DD₁ = tg(D₁BD) · BD. BD=4√2 см как диагональ квадрата со стороной 4 см, поэтому DD₁ = 4√2 /√3 см
Объём правильной призмы можно найти через боковое ребро и площадь основания таким образом.