Question

Скласти рівняння сфери з центром у точці (5.-9.-12) яка дотикается до осі ординат

Answer 1

ответ: (x - 5)² + (y + 9)² + (z + 12)² = 169

Объяснение:

Для уравнения сферы нужен её радиус и центр.

В приложении представлено построение точки O (5; -9; -12). Красным выделен радиус сферы.

Обращаем внимание, что для поиска радиуса удобнее работать на модели справа -- прямоугольном параллелепипеде.

1. Радиусом будет расстояние от точки O до оси Y (так как необходимо кратчайшее расстояние до оси для касания сферы).

Расстояние от точки до прямой -- это перпендикуляр, проведённый из этой точки к данной прямой.

PN ⊥ NK, PN ⊥ NM (прямоугольный параллелепипед) ⇒ PN ⊥ (MNK) (по признаку ⊥ прямой и плоскости) ⇒ PN ⊥ NO (прямая, ⊥ плоскости, ⊥ любой прямой в этой плоскости) ⇒ NO -- искомый радиус.

2. MN = 5, MO = NK = 12. По теореме Пифагора из ΔNKO:

$NO=\sqrt{NK^2+KO^2} =\sqrt{12^2+5^2} =\sqrt{169}=13$

3. Уравнение сферы имеет следующий вид:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

где R -- радиус сферы, (x₀, y₀, z₀) -- её центр.

Тогда в итоге получим следующее уравнение:

$(x-5)^2+(y-(-9))^2+(z-(-12))^2=13^2\\ \\ (x-5)^2+(y+9)^2+(z+12)^2=169$

Answer 2

(x-5)  ²+(y+9)²+(z+12)²=13² или  (x-5)  ²+(y+9)²+(z+12)²=169

Объяснение:

Перевод: Составить уравнение сферы с центром в точке (5; -9; -12), которая касается к оси ординат.

Решение.

Как известно, уравнение сферы имеет следующий вид:

(x-x₀)  ²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²,

где R - радиус сферы, (x₀; y₀; z₀) - координаты её центра.

Нам известно координаты её центра S(5; -9; -12), остаётся найти радиус R (см. рисунок).

По условию сфера должна касаться к оси ординат и поэтому радиусом будет расстояние от центра S до оси Oy, то есть перпендикулярный к оси Oy отрезок, соединяющий центр S с точкой касания оси Oy (на рисунке нужная ось и нужные отрезки показаны красным).

Так как отрезок AS, равная радиусу R, перпендикулярен к оси Oy, то треугольник OAS прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора

OS²=OA²+AS² или  AS²=OS²-OA².

Длина отрезка OA известно: OA = |-9| = 9. Найдём OS² как квадрат расстояния между точками O(0; 0; 0) и S(5; -9; -12):

OS²=(5-0)²+(-9-0)²+(-12-0)²=5²+9²+12²=25+81+144=250.

Тогда

R²=AS²=OS²-OA²=250-9²=250-81=169=13² или

R=13.

Наконец, искомое уравнение сферы имеет вид:

(x-5)  ²+(y+9)²+(z+12)²=13² или

(x-5)  ²+(y+9)²+(z+12)²=169.