Question

Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом α і катетом b, протилежним йому. кожна бічна грань нахилена до основи піраміди під кутом β. знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Answer 1

Обозначим пирамиду АВСS(смотри рисунок). Поскольку все грани наклонены под одинаковым углом, то высота пирамиды опущенная из вершины S приходит в точку О-пересечение биссектрис, которая является центром вписанной окружности и её радиусы OK, OM,ON (рисунок условный-эти радиусы не являются продолжением биссектрис после точки О, они перпендикулярны сторонам). Продолжения биссектрис не показаны, чтобы не загромождать рисунок. Дальше -простая тригонометрия, радиус находим через площадь и полупериметр. Площадь боковой поверхности равна полвине периметра умноженное на апофему или полупериметр на апофему. ответ на рисунке.

Answer 2

Позначимо вершину піраміди S, вершини трикутника в основі АВС, причому

кут С=90°

кут$А=\alpha$

BC=b

Кожна бічна грань нахилена до основи піраміди під кутом $\beta$., значить вершина піраміди проектується в центр О - вписаного кола. Нехай $K_1, K_2, K_3$ точки дотику вписаного в трикутник АВС кола до сторін АВ, АС, ВС відповідно. Тоді

кут$SK_1O$=$SK_2O$=$SK_3O$=$\beta$

SO - висота піраміди,

за теоремою про три перпендикуляри $SK_1=SK_2=SK_3$ - висоти трикутників (граней) ASB, ASC, BSC відповідно.

площа бічної поверхні =сумі площ бічних граней=сумі площ трикутників ASB, ASC, BSC

Площа трикутника дорівнює півдобутку сторони трикутника на висоту, проведену до цієї сторони.

За співвідношенями в трикутнику

BC=b,

$tg A=BC/AC$$AC=BC/tg A=BC*ctg A=b*ctg\alpha$

Зі співвідношень в прямокутних трикутних $SK_1O, SK_2O, SK_3O$ маємо

$h=SK_1=SK_2=SK_3=\frac {r}{cos \beta}$

площа бічної поверхні дорівнює

$S=\frac {AB*SK_1+AC*SK_2+BC*SK_3}{2}=\frac {AB+BC+AC}{2}*h=\frac {pr}{cos \beta}=\frac {AC*BC}{2cos \beta}=\frac {b*b*ctg \alpha}{2cos \beta} =\frac {b^2*ctg\alpha}{2cos \beta}$

(Площа прямокутного трикутника= добутку півпериметра на радіус вписаного кола=півдобутку катетів)