Для наглядности решения нужно начертить квадрат ABCD, провести диагональ АС, затем разделить все стороны квадрата пополам, соединить их между собой; получаем некий четырехугольник 1234 ( точка 1 - середина стороны AB, точка 2 - середина BC и тд. Решение. 1. Находим, чему равна сторона квадрата: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Сторона квадрата - катет равна а. 2а² =36; а² = 18; а= 3√ 2; 2. Рассмотрим прямоугольный Δ 1В2; его катеты 1В и В2 равны половине стороны квадрата и равны 3/2 √ 2; тогда гипотенуза, она же сторона вписанного четырехугольника, периметр которого нужно найти равна: √ [ (3/2√ 2)² + (3/2√ 2)²] = √9 = 3. Нетрудно увидеть, что остальные стороны вписанного четырехугольника тоже равны 3; тогда периметр его P= 4x3=12(см). ответ: периметр четырехугольника равен 12см
Находим угол АОВ с учетом того, что АО и ОВ - биссектрисы углов А и В (по свойству центра вписанной окружности): АОВ = 180-(1/2)А-(1/2)В = 180-((1/2)(А+В)) = 180-((1/2)(180-60) = = 180-90+30 = 120°. Зная 2 стороны и угол, находим сторону АВ треугольника АОВ: АВ =√(6²+10²-2*6*10*cos120) = √36+100-120*(-1/2)) = √196 = 14 см. Зная стороны треугольника АОВ, находим углы А и В (А = 2*ВАО, В =2*АВО) по теореме синусов. sin BAO = sin120*10/14 = 0.866025*10/14 = 0.6185896°. Угол ВАО = arc sin 0.6185896 = 0.6669463 радиан = 38.213211° Угол А = 2* 38.213211 = 76.426421°. sin ВAO = sin120*6/14 = 0.3711537. Угол ВАО = arc sin 0.3711537 = 0.3802512 радиан = 21.786789°. Угол В = 2* 21.786789 = 43.573579°. Зная углы треугольника АВС и одну сторону АВ = 14 см, находим 2 другие по теореме синусов: ВС = 14*sin A /sin C = 14* 0.972069 / 0.866025 = 15.71428571 см. АС = 14*sin В /sin C = 14* 0.6892855 / 0.866025 = 11.14285714 см. Находим площадь треугольника АВС по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 75.82141 см². Здесь р = (а+в+с)/2 = 20.428571 см. Радиус описанной окружности R = abc / 4S = 8.0829038 см.
