А). Рассмотрим треугольник МОР. Он равнобедренный, т.к. РО=МО=r. В равнобедренном треугольнике углы при основании РМ равны, значит <EMP=<MPK.
б). Рассмотрим треуг-ки МОК и ЕОР. Они равны по двум сторонам и углу между ними: - МО=ЕО=КО=РО=r; - углы МОК и ЕОР равны как вертикальные. У равных треугольников МОК и ЕОР равны соответственные стороны МК и РЕ.
АВСД-это правильная треугольная пирамида(смотри рисунок). В основании правильный треугольник. Значит точка О является одновременно точкой пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника основания. А поскольку боковые рёбра по условию равны, то они имеют одинаковый наклон к основанию и опущенная из вершины пирамиды высота ДО приходит в эту точку О. Проводим апофему ДК. Получим прямоугольный треугольник АКД, поскольку ДАВ=45 по условию, то и АДК=45, отсюда АК=ДК. В точке пересечения медианы делятся в отношении 2/1 считая от вершины. По теореме Пифагора находим Н, потом ребро ДС и cosДАО=корень из2/корень из 3.
По первому признаку подобия треугольников имеем, что данные равнобедр.треуг. подобны. Коэффициент их подобия равен как отношению соотв.сторон, так и отношению периметров. Найдем боковые стороны первого треугольника. Высота к основанию является также медианой, значит по теореме Пифагора боковая сторона равна кореньиз(64+36)=10. Периметр первого треугольника равен 10+10+16=36. Коэффициент подобия k=54/36=3/2=1,5. Значит боковые стороны второго равнобедр.треугольника равны 10*1,5=15 см, а основание равно 16*1,5=24 см.
<EMP=<MPK.
б). Рассмотрим треуг-ки МОК и ЕОР. Они равны по двум сторонам и углу между ними:
- МО=ЕО=КО=РО=r;
- углы МОК и ЕОР равны как вертикальные.
У равных треугольников МОК и ЕОР равны соответственные стороны МК и РЕ.