Question

Все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, и диагонали граней равны √34,√61,3√5 см. найдите длины ребер параллелепипеда.

Answer 1

Обозначим а, b и с - измерения параллелепипеда (см. рисунок ).
По теореме Пифагора получаем три уравнения из соответствующих прямоугольных треугольников:
a² + b² = 34
a² + c² = 61
b² + c² = 45  - это система уравнений. Сложим все три уравнения:

2a² + 2b² + 2c² = 140
a² + b² + c² = 70  теперь вычтем из этого уравнения каждое уравнение системы:

с² = 36
b² = 9
a² = 25

c = 6 см
b = 3 см
a = 5 см

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство параллелепипеда - противоположные ребра являются равными и параллельными.

Предположим, что длины ребер параллелепипеда равны a, b и c см.

Дано, что диагонали граней равны √34, √61 и 3√5 см. Обозначим эти диагонали как d1, d2 и d3 соответственно.

Первым шагом найдем отношения между диагоналями и ребрами параллелепипеда:

1) d1^2 = a^2 + b^2
(√34)^2 = a^2 + b^2
34 = a^2 + b^2

2) d2^2 = b^2 + c^2
(√61)^2 = b^2 + c^2
61 = b^2 + c^2

3) d3^2 = a^2 + c^2
(3√5)^2 = a^2 + c^2
9 * 5 = a^2 + c^2
45 = a^2 + c^2

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1) 34 = a^2 + b^2
2) 61 = b^2 + c^2
3) 45 = a^2 + c^2

Мы можем использовать метод замены переменных или метод сложения/вычитания уравнений, чтобы решить эту систему. Для простоты, воспользуемся методом сложения/вычитания:

Вычтем уравнения 1) и 2):
34 - 61 = (a^2 + b^2) - (b^2 + c^2)
-27 = a^2 - c^2

Вычтем уравнения 1) и 3):
34 - 45 = (a^2 + b^2) - (a^2 + c^2)
-11 = b^2 - c^2

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

-27 = a^2 - c^2
-11 = b^2 - c^2

Мы видим, что оба уравнения равны разности квадратов. Это может быть факторизовано следующим образом:

-27 = (a - c)(a + c)
-11 = (b - c)(b + c)

Теперь у нас есть две системы из разностей квадратов и две неизвестные a, b и c.

Мы можем разделить первое уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

27 = (a - c)(a + c)

Теперь мы можем представить -11 как произведение двух натуральных чисел:

-11 = (b - c)(c - b)

Отсюда, мы можем найти значения переменных a, b и c:

a - c = 3√5
a + c = - √34
b - c = -11
b - c = 1

Добавим уравнения (a - c) + (a + c) = 3√5 - √34:
2a = 3√5 - √34
a = (3√5 - √34)/2

Добавим уравнения (b - c) + (b + c) = -11 + 1:
2b = -10
b = -5

Теперь, найдем значение c:
c = b - 1
c = -5 - 1
c = -6

Таким образом, длины ребер параллелепипеда равны:
a = (3√5 - √34)/2
b = -5
c = -6

Ответ: Длины ребер параллелепипеда равны (3√5 - √34)/2, -5 и -6 см.