Пусть одна сторона квадрата АВСD будет х. Тогда периметр будет равен: 4*х=8, отсюда, х = 2. Пусть КD = y, на рисунке отмечено, что у равны также и AP, BM, CN. Между собой равны и ND, MC, BP, AK. Это следует из того, что нам дан квадрат. Теперь ND/KD=tg30=1/√3. Отсюда ND=KD/√3. А KD+ND=2. Решаем систему из этих 2-х уравнений:
ND*√3+ND=2
ND=2/(√3+1)=2*(√3-1)/(3-1)=√3-1.
Так как сторона ND лежит против угла в 30 градусов, она равна половине гипотенузы. Значит KN=ND*2=2(√3-1). Все маленькие треугольники равны друг другу по двум сторонам и углу между ними. Значит нам фигура внутри - квадрат. И его периметр: 4*2(√3-1)=8(√3-1)
АВСД - ромб. Через вершину А проведена прямая а параллельна диагонали ВД. Для доказательства используем одно из свойств ромба: его диагонали пересекаются под прямым углом. (Здесь даже не важно под каким углом они пересекаются). Поскольку прямая а и ВД параллельны, а СД пересекает одну из параллельных прямых, то она обязательно пересечет и вторую прямую, т.е. прямую а. Есть теорема: Пусть три прямые лежат в некоторой плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую. Что и требовалось для доказательства.
Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. То есть АВ*АК=АС². Или АВ*(АВ-2АС)=АС². Подставляем известные значения: 12(12-2АС)=АС² или АС²+24*АС-144. АС= -12+12√2 = 12(√2-1). 2.Соединим середину хорды АВ (точку D) с серединой хорды АС (точка Е). Отрезок DF перпендикулярен АС (расстояние от середины хорды АВ до хорды АС), тогда AF=3(так как DA=5см, а DF=4см), EF = 3см (6-3=3) а DЕ = 5см. DЕ - средняя линия треугольника АВС, поэтому ВС=10см. Тогда радиус описанной окружности находим по формуле R=abc/[4√p(p-a)(p-b)(p-c). R = 10*12*10/[4√(16*6*6*4)=300/48 = 6,25. 3.Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. Имеем: АС*АВ = АК*АD или 20*DK = 25*(25-DK). 20*DK=625 -25*DK; 45DK=625. DK = 13и8/9.
Пусть одна сторона квадрата АВСD будет х. Тогда периметр будет равен: 4*х=8, отсюда, х = 2. Пусть КD = y, на рисунке отмечено, что у равны также и AP, BM, CN. Между собой равны и ND, MC, BP, AK. Это следует из того, что нам дан квадрат. Теперь ND/KD=tg30=1/√3. Отсюда ND=KD/√3. А KD+ND=2. Решаем систему из этих 2-х уравнений:
ND*√3+ND=2
ND=2/(√3+1)=2*(√3-1)/(3-1)=√3-1.
Так как сторона ND лежит против угла в 30 градусов, она равна половине гипотенузы. Значит KN=ND*2=2(√3-1). Все маленькие треугольники равны друг другу по двум сторонам и углу между ними. Значит нам фигура внутри - квадрат. И его периметр: 4*2(√3-1)=8(√3-1)