ДАНО
c = 5 см - образующая конуса
D = 4 см - диаметр основания.
r= 1 см - диаметр шарика.
НАЙТИ
N =? - число шариков.
РЕШЕНИЕ
Объем конуса по высоте и радиусу основания по формуле:
V = 1/3*π*R²*H
Находим высоту конуса - H по теореме Пифагора.
b = R = D/2 = 4/2 = 2 см -
1) a² = 5² - 2² = 25 - 4 = 21
2) H = a = √21 - высота конуса.
Объем конуса
3) V1 = 1/3*π*4*√21= 4/3*√21*π см³ - объем конуса превращаем в шарики.
Объем шара по формуле - R = 1.
V2 = 4/3*π*R³ = 4/3*π
Находим число полученных шариков - делением.
N = V1 : V2 = √21 ≈ 4.6 ≈ 4 шт - шариков - ОТВЕТ
И еще 0,58 шарика останется
Пусть О - точка пересечения медиан.
Если взглянуть на хорошо нарисованный чертеж (то есть такой, где медианы треугольника взаимно перпендикулярны), можно увидеть три прямоугольных треугольника (их там больше, но нам только эти нужны) АОВ, АОЕ и BOD.
если обозначить КОРОТКИЕ ОТРЕЗКИ медиан, как y и z (ОD = z, при этом по свойству медиан ОА = 2*z, и так же OE = y, поэтому ОВ = 2*y), а неизвестную сторону АВ = х, то из этих треугольников сразу получается 3 равенства:
(2*y)^2 + (2*z)^2 = x^2; то есть х^2 = 4*(y^2 + z^2);
z^2 + (2*y)^2 = BD^2 = 4;
(2*z)^2 + y^2 = AE^2 = (3/2)^2 = 9/4;
Два последних уравнения можно честно решить, найти y и z, и вычислить х. Но раз нам надо только найти сумму квадратов y и z, можно сложить эти 2 последних уравнения, и мы сразу получим ответ.
5*(y^2 + z^2) = 4 + 9/4 = 25/4; (y^2 + z^2) = 5/4; x^2 = 5;
ответ: АВ = корень(5)
Диагональ В₁С боковой грани ВВ₁С₁С параллелепипеда по условию перпендикулярна плоскости основания и равна 5√3 ⇒ перпендикулярна ВС. Треугольник В1СВ - прямоугольный, угол В₁ВС =60°
В₁В=В₁С:sin (60°)=5√3):(√3)/2=10
Сторона основания ВС - катет треугольника ВСВ₁, противолежащий углу 30° и равна половине длины ребра ВВ₁
ВС=5
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, половина одной из них равна 3 по условию. Треугольник ОВС - египетский,⇒
ВО=4,⇒ ВD=2*ВО=8 (можно проверить по т. Пифагора)
Площадь ромба в основании равна половине произведения диагоналей.
S (ABCD)=0,5*6*8=24
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту
Поскольку высотой параллелепипеда является отрезок, перпендикулярный основанию, В₁С равен высоте параллелепипеда.
V=24*5√3=120√3 (единиц объема)