Геометрия алгебре Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Пословица. Анри Пуанкаре сказал, что математика — это искусство называть разные вещи одина- ковыми именами. Осмелимся добавить: а одинаковые вещи — разными именами. То есть один и тот же объект можно описывать на разных языках, видеть разными глазами. При этом непонятное ранее утверждение может стать очевидным, а к сложной задаче может отыскаться лёгкое решение. На школьном уровне эта идея обычно реализуется как перевод на язык алгебры арифме- тических задач (текстовые задачи решают с уравнений) и геометрических задач (координатный и векторный методы). Такой перевод позволяет алгоритмизировать реше- ние задач. Заметим, что алгоритмизация не всегда полезна: не нужно ничего изобретать, решение идёт по накатанной схеме. “Решать с уравнений задачу, допускающую простое арифметическое решение, безнравственно.” [1, с. 46] Менее известны другие случаи, когда арифметические и алгебраические задачи удобно решать на геометрическом языке. Таким примерам и посвящена эта статья. Доказать значит сделать очевидным Ключевые факты полезно формулировать на разных языках, чтобы каждый ученик усваивал их на свойственном ему языке. Для многих вовремя показанная картинка может раз и навсегда навести ясность и от типичных ошибок. 1. Переместительный закон сложения для положительных чисел можно пояснять так: поезд проехал a км от Москвы до Твери и b км от Твери до Петербурга. На обратном пути он проехал те же расстояния в обратном порядке, и общий путь был тот же самый. Значит, a + b = b + a. Переместительный закон сложения для целых чисел хорошо пояснять с дви- жения лифта. Например, (+3) + (−5) означает, что лифт поехал сначала на 3 этажа вверх, а потом на 5 вниз. А (−5) + (+3) означает, что лифт сначала поехал на 5 этажей вниз, а потом на 3 вверх. Ясно, что в итоге он переместился на одно и то же число этажей в одну и ту же сторону3. Тот же Пуанкаре говорил, что научиться складывать дроби можно двумя разрезая яблоки и . . . разрезая пироги. В статье и на доске проще резать прямоугольники (“шоколадки”), но суть будет та жеСпросите пятиклассника, чему равен квадрат суммы — и он наверняка ответит “сумме квадратов”. Переубедить его проще всего с картинки 6: считаем площадь боль- шого квадрата двумя Говорят, когда Руссо учился в школе, его убедило только такое доказательство. Можно придумать картинки для доказательства разложения квад- рата суммы трёх слагаемых, для разности квадратов и даже для куба суммы [2]. Правда, последнее является скорее тренировкой пространственного воображения, но это тоже по- лезно. 5. Формула для производной произведения двух функций, как и формула суммы квад- ратов, не принадлежит к числу интуитивно ясных: хочется по аналогии с производнойсуммы сказать “равна произведению производных”. В эту ловушку попался сначала да- же. . . Лейбниц, один из создателей дифференциального исчисления.
1шаг) Опустим высоту ДН на продолжение меньшего основания АВ НА=1,5 ( по условию) НВ=6 (по условию) НВ=На+АВ AB=HB-HA АВ=5 2 шаг) проведем 2 высоты на ДС (АМ и ВК) НА=ДМ(как противолежащие стороны прямоугольника) ДМ=КС(как высоты равнобокой трапеции) НА=КС=ДМ( по выше доказанному) 3 шаг) АВ=МК(противолежащие стороны прямоугольника) значит ДС=5+2*1,5=8 4 шаг) средняя линяя (5+8)/2=6,5 5 шаг)нижние углы трапеции равны 45 ,потому что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180 градусам) 6 шаг) треугольники ДАМ и СВК равнобедренные) АМ=ДМ (углы по 45 градусов) в другом также значит высота равна 1,5 см 7 шаг) S=h*средняя линия S=1,5*6,5=9,75
