Дано: ΔАВС - равнобедренный, АК = КВ = ВМ = МС (т. К и М - середины боковых сорон АВ и СВ соответственно), ВD - медиана.
Доказать: ΔBKD = ΔBMD.
Доказательство: есть два треугольника BKD и BMD, у которых сторона BD - общая. стороны KB и BM - равны, т.к. ΔABC - равнобедренный, а точки K и M - середины сторон АВ и СВ соответственно. Т.к. BD - медиана равнобедренного ΔABC, то ∠KBD = ∠DBM. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны), треугольники BKD и BMD равны, т.к. KB = BM, BD - общая сторона, ∠KBD = ∠DBM.
Чтд.
Рассмотрим треугольники ADC, BDC, CDB, составляющие грани тетраэдра. Каждый треугольник проведенным в нем отрезком делится на два подобных треугольника, т.к. тот отрезок - средняя линия треугольника и потому параллелен основанию.
Соединив точки К, Е и М, получим треугольник КЕМ, плоскость которого параллельна плоскости АDВ по свойству пересекающихся прямых:
· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.
Δ АDВ и Δ КЕМ подобны по всем трем признакам подобия треугольников.
Отношения площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Так как стороны образующих грани треугольников относятся как 2:1, то площади Δ АDВ и Δ КЕМ относястя как 4:1.
Площадь треугольника ADB больше площади треугольника КЕМ в 4 раза и равна27·4=108 см²