Вариант для любителей тригонометрии
Объяснение:
Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника
АВ = "с", ВС = "а".
Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А. Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:
x = c*cosa. y = a*cos2a.
c = h/sina. a = h/sin2a. cos2a = h/а. =>
x = h*cosa/sina. y = h*cos2a/sin2a.
x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).
Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)
Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда
cosa/sina - cos2a/sin2a =
(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a). =>
sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).
(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =
(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a. =>
x - y = h/cos2a. cos2a = h/а. =>
x - y = h/(h/а) = а.
Что и требовалось доказать.
Дано: ΔABC - равнобедренный, AB=BC=25, P=90
Найти : S - ?
Решение : AB + BC + AC = P
25 + 25 + AC = 90
AC = 90 - 50 = 40
Проведем высоту BK ⊥ AC. Высота в равнобедренном треугольнике является одновременно медианой ⇒
AK = KC = AC : 2 = 40 : 2 = 20
ΔABK - прямоугольный. По теореме Пифагора
BK² = AB² - AK² = 25² - 20² = 225 = 15²
BK = 15
ответ : S = 300