На стороне ac треугольника abc выбраны точки d и e так что углы adb и bec равны.оказалось что отрезки ae и cd тоже равны.докажите что треугольник abc - равнобедренный
Рассмотрим треугольник EBD. Углы при его основании ED равны по условию, значит он равнобедренный, и ВЕ=BD. Рассмотрим треугольники АЕВ и CDВ. Здесь: - АЕ=CD по условию; - ВЕ=BD как доказано выше; - <AEB=180-<BEC, <CDB=180-<ADB. Но <BEC=<ADB по условию, значит <AEB=<CDB. Следовательно, треугольники АЕВ и CDВ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), и АВ=СВ, т.е. треугольник АВС - равнобедренный.
По второму признаку равенства треугольников: "Если сторона и два прилежащих к ней угла в одном треугольнике равны стороне и двум прилежащим к ней углам во втором треугольнике - то такие треугольники равны". Нам дано, что BM - биссектриса (на рисунке) , значит угол ABM равен углу CBM по определению биссектрисы Она же есть высота. По определению высоты BM перпендикулярна AC, значит углы AMB и CMB равны между собой (каждый по 90 градусов) А также сторона BM - общая для треугольников ABM и CBM, значит эти два треугольника равны по 2-му признаку равенства треугольников. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и наоборот) . Прямые углы AMB и CMB равны, значит и стороны, лежащие против них AB и CB. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Утверждение доказано.
Дано: AB =BC; BH ⊥ AC ; AK =KB ; L∈ окружности (B,C , K ).
док. ΔAKL равнобедренный
Окружность проходит через три точки K ,B и C (описанная около треугольника KBC) ее центр это точка пересечения средних перпендикуляров KB и BС . AB =BC ⇒∠ABH =∠CBH (высота BH одновременно и биссектриса ; свойство равнобедренного треугольника ) . ∠KBL =∠CBL , L∈ BH * * *∠KBL=∠ABH ,∠CBL=∠CBH * * * (дугаKL)/2 = (дугаCL)/2 ⇒ KL =CL( равные дуги _равные хорда) , но CL =AL , следовательно KL =AL т.е. треугольник AKL равнобедренный .
Рассмотрим треугольники АЕВ и CDВ. Здесь:
- АЕ=CD по условию;
- ВЕ=BD как доказано выше;
- <AEB=180-<BEC, <CDB=180-<ADB. Но <BEC=<ADB по условию, значит <AEB=<CDB.
Следовательно, треугольники АЕВ и CDВ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), и АВ=СВ, т.е. треугольник АВС - равнобедренный.