дано: паралелограм ABCD построен на векторах а и b как на сторонах. Известно, что модуль вектора а равен 3, модуль вектора b равен 5, модуль векторов а+b равен 7.
найти: величину угла между векторами a и b(в градусах)
Объяснение:
Дано: ABCD- параллелограмм, построен на векторах а и b как на сторонах. Известно, что модуль вектора| а |=3, | b|=5, | а+b|=7.
Найти: величину угла между векторами a и b
Решение
Пусть АВ=а (вектора), ВС=b(вектора). Тогда суммой двух векторов, по правилу треугольника АВ+ВС=АС (вектора). По условию АВ+ВС=а+b(вектора), поэтому
АС= а+b(вектора), а |АС|= |а+b|=7 (вектора).
В ABC вектора ВС=АД .Тогда углом между векторами а и b будет ∠ВАD=180°-∠АВС.
ΔАВС, АВ=3,ВС=5, АС=7.
По т. косинусов :
АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosВ,
49=9+25-30*cosВ,
cosВ=-0,5
∠В=120 , а значит ∠ВАD=180°-120°=60°.
дано: паралелограм ABCD построен на векторах а и b как на сторонах. Известно, что модуль вектора а равен 3, модуль вектора b равен 5, модуль векторов а+b равен 7.
найти: величину угла между векторами a и b(в градусах)
Объяснение:
Дано: ABCD- параллелограмм, построен на векторах а и b как на сторонах. Известно, что модуль вектора| а |=3, | b|=5, | а+b|=7.
Найти: величину угла между векторами a и b
Решение
Пусть АВ=а (вектора), ВС=b(вектора). Тогда суммой двух векторов, по правилу треугольника АВ+ВС=АС (вектора). По условию АВ+ВС=а+b(вектора), поэтому
АС= а+b(вектора), а |АС|= |а+b|=7 (вектора).
В ABC вектора ВС=АД .Тогда углом между векторами а и b будет ∠ВАD=180°-∠АВС.
ΔАВС, АВ=3,ВС=5, АС=7.
По т. косинусов :
АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosВ,
49=9+25-30*cosВ,
cosВ=-0,5
∠В=120 , а значит ∠ВАD=180°-120°=60°.
Косинусы углов будем находить по формуле:
cos A = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)/(√(x₁²+y₁²+z₁²) * √(x₂²+y₂²+z₂²))
а)
cos A = (0*(-4)+(-1)*(-1)+1*(-1))/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-4)²+(-1)²+(-2)²))
= (0+1-1)/(√(1+1) * √(16+1+4))= 0
cos В = ((-3)*(-4)+(-5)*(-1)+1*(-2))/(√((-3)²+(-5)²+1²) * √((-4)²+(-1)²+(-2)²))=
= (12+5-2)/(√(9+25+1) * √(16+1+4))=15/(√35 * √21)= 15/(7√15)= √15/7
cos С = (0*(-3)+(-1)*(-5)+1*1)/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-3)²+(-5)²+1²))=
= (0+5+1)/(√(1+1) * √(9+25+1))= 6/(√2 * √35)= 6/√ 70
б)
cos A = (2*0+(-1)*1+1*3)/(√(2²+(-1)²+1²) * √(0²+1²+3²))=
= (0-1+3)/(√(4+1+1) * √(0+1+9))=2/(√6 * √10)= 1/√15
cos В = (0*(-1)+1*1+3*0)/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-1)²+1²+0²))=
= (0+1+0)/(√(0+1+1) * √(1+1+0))= 1/(√2 * √2)=1/2
cos С = (2*(-1)+(-1)*1+1*0)/(√(2²+(-1)²+1²) * √((-1)²+1²+0²))=
= (-2-1+0)/(√(4+1+1) * √(1+1+0))= (-3)/(√6 * √ 2)= (-3)/(2√3)= -√3/2