Question

Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды = 30°, а отрезок, что соединяет основание высоты пирамиды и середину апофемы 2 дм. найдите объем пирамиды.

Answer 1

Обозначим пирамиду SABCD, проведём апофему SН, (точка Н - середина DC), проведём высоту пирамиды SO, тогда в прямоугольном треугольнике SOH угол SHO равен 30 градусам .Пусть точка Е середина апофемы SH , тогда ОЕ = 2дм( медиана ΔSOH),  а т.к. медиана проведённая к гипотенузе равна половине этой гипотенузы, то апофема SH = 4дм, тогда SO = 2дм ( катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы),
В ΔSOH ОН = √SH² - SO² = √4² - 2² =2√3. АВ = 2ОН = 4√3. тогда объём пирамиды V = (S основания · SO): 3 = (АВ² · 2) : 3 = (4√3)² · 2 :3 = 48 · 2 : 3 = = 32дм³