вектор ас имеет проекции
ас х = (4 - 0) = 4; ас у = (3 - 3) = 0
ас (4; 0)
вектор bс имеет проекции
bс х = (4 - 4) = 0; bс у = (3 - 0) = 3
bс (0; 3)
найдём скалярное произведение векторов ас и bс
ас · bс = (4 · 0 + 0 · 3) = 0
следовательно векторы ас и вс перпендикулярны.
угол асв - прямой и опирается на диаметр аb
Найдём диаметр ав
IabI = √(0 + 4)² + (3 + 0)² = 5
Радиус окружности равен половине диаметра R = 2,5.
Центр окружности O расположен посредине между точками а и b
Найдём координаты точки О
xО = (0 + 4)/2 = 2; уО = (3 + 0)/2 = 1,5
Запишем уравнение окружности (х - хО)² + (у - уО)² =R²
(х - 2)² + (у - 1,5)² = 2,5²
Пусть есть два вектора a и b, которые полностью определяют треугольник со сторонами a и b (эти стороны "выходят" из общей вершины). Если соединить конец вектора a с серединой вектора b, то получится вектор m, соответствующий медиане m к стороне b. Точно также строится медиана n к стороне a.
Очевидно, что m = b/2 - a; n = a/2 - b;
Пусть точка пересечения медиан делит медиану m в пропорции k/(1 - k); а медиану n в пропорции p/(1 - p);
Тогда a + km = b + pn; так как у этих векторов совпадают начало и конец :).
a + k(b/2 - a) = b + p(a/2 - b);
или a(1 - k - p/2) = b(1 - p - k/2);
Вот это соотношение и было нужно, из него все получается автоматически.
Поскольку a и b - ненулевые и неколлинеарные вектора, то
1 - k - p/2 = 0;
1 - p - k/2 = 0;
решение этой простенькой системы k = p = 2/3;
То есть точка пересечения двух медиан делит их в пропорции 2/1;
(Само собой, и третья медиана тоже проходит через эту же точку).