Question

Доказать что выпуклый многоугольник с неравными углами должен иметь 1 тупой угол(док-во от противного)

Answer 1

Для треугольника утверждение неверно, например, можно рассмотреть треугольник с углами 70, 60, 50 градусов.

Предположим, что во многоугольнике (число углов больше 3) нет ни одного тупого угла. Тогда каждый угол не превосходит 90 градусов, а сумма всех n углов меньше 90n (все углы, кроме, быть может, одного, являются острыми).
Сумма углов n-угольника равна 180(n-2), тогда 180(n-2)<90n, откуда 2(n-2)<n, 2n-4<n, n<4, получили противоречие с тем, что число углов больше 3. Значит, любой многоугольник с неравными углами (если углов 4 и больше), имеет хотя бы один тупой угол, что и требовалось доказать.

Answer 2

Я написала так, как поняла. Не гарантирую, что это правильно.
 1) Допустим, что в выпуклом многоугольнике нет ни одного тупого угла. 2)Сумма внешних углов равна 360 градусов, следовательно всего может быть только 3 тупых угла, равных 91 градусу(91 умножить на 3 будет 273 градуса). Следовательно получим противоречие, следовательно в выпуклом многоугольнике есть один и более тупых углов.
 Ч. т. д.